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| Aufgabe | Sei G eine Gruppe und H Teilmenge von G eine Untergruppe. Wir betrachten die symmetrische Gruppe S G/H auf der Menge der Linksnebenklassen und den Homomorphismus von Gruppen
f: G --> S G/H, a --> (xH --> axH)
Berechnen Sie Ker(f) Teilmenge von G |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Vermutung: Ker(f) ={ a Element G | a Element H}, weiß jedoch nicht, ob das stimmt und wie ich es beweisen kann.
Für a Element H gilt:
a --> axH, mit a Element H, jedoch ist G nicht notwendigerweise kommutatuiv, sodass ich sagen kann: axH = xH...
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> Sei G eine Gruppe und H Teilmenge von G eine Untergruppe.
> Wir betrachten die symmetrische Gruppe S G/H auf der Menge
> der Linksnebenklassen und den Homomorphismus von Gruppen
> f: G --> S G/H, a --> (xH --> axH)
> Berechnen Sie Ker(f) Teilmenge von G
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Meine Vermutung: Ker(f) ={ a Element G | a Element H},
> weiß jedoch nicht, ob das stimmt und wie ich es beweisen
> kann.
> Für a Element H gilt:
> a --> axH, mit a Element H, jedoch ist G nicht
> notwendigerweise kommutatuiv, sodass ich sagen kann: axH =
> xH...
Hallo,
so geht's:
[mm] a\in [/mm] H.
Dann ist [mm] a=axx^{-1}\in [/mm] H für alle [mm] x\in [/mm] G <==> axH=xH alle [mm] x\in [/mm] G
Damit hast Du, was Du willst - und ich auch. (Ich war zuvor an dieser Stelle, als ich [mm] H\subset [/mm] Kern f zeigen wollte, auch ins Stocken geraten.)
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:24 Mi 05.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Dann ist [mm]a=axx^{-1}\in[/mm] H
Kannst du das nochmal erklären? Hast du das Inverse vielleicht falsch herum?
> für alle [mm]x\in[/mm] G <==> axH=xH alle
> [mm]x\in[/mm] G
Ich sehe nur, das dies Äquivalent zu [m]x^{-1}*a*x\in H[/m] ist für alle [m]x\in G[/m]. Das ist auch ne Untergruppe.
> Damit hast Du, was Du willst - und ich auch.
Ich zweifle.
SEcki
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 17:57 Mi 05.05.2010 | | Autor: | angela.h.b. |
> Ich zweifle.
Tja, bei näherer Betrachtung bin ich auch nicht mehr begeistert.
Da war wohl der Wunsch Vater des Gedankens.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 Mi 05.05.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei G eine Gruppe und H Teilmenge von G eine Untergruppe.
> Wir betrachten die symmetrische Gruppe S G/H auf der Menge
> der Linksnebenklassen und den Homomorphismus von Gruppen
> f: G --> S G/H, a --> (xH --> axH)
> Berechnen Sie Ker(f) Teilmenge von G
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Meine Vermutung: Ker(f) ={ a Element G | a Element H},
> weiß jedoch nicht, ob das stimmt und wie ich es beweisen
> kann.
Wenn [mm] $\ker(f) [/mm] = H$ ist, dann ist $H$ ein Normalteiler. Und ist umgekehrt $H$ ein Normalteiler, so kann man aus $a [mm] \in [/mm] H$ auch folgern $a x H = x H$, da $a x = x a'$ ist fuer ein $a' [mm] \in [/mm] H$, und somit $a x H = x a' H = x H$ ist.
Spannend ist jedoch der Fall, wenn $H$ eben kein Normalteiler ist. Es ist [mm] $\ker(f)$ [/mm] immer ein Normalteiler, und immer eine Teilmenge von $H$.
Schau dir doch mal [mm] $\bigcap_{g \in G} g^{-1} [/mm] H g$ an; dies ist ein Normalteiler (warum?), der in $H$ enthalten ist (warum?). Und falls $H$ bereits Normalteiler ist, ist dies gleich $H$. Vielleicht ist dieser gerade der Kern von $f$?
LG Felix
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