Kern eines Homomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Di 17.01.2006 | | Autor: | wimath |
| Aufgabe | Sei f:V [mm] \to [/mm] V ein Homomorphismus des K-Vektorraumes V. Definiere [mm] f^l [/mm] := [mm] \underbrace{f \circ ... \circ f }_{l}
[/mm]
Zeigen sie:
(i) Es gilt [mm] Kerf^l \subseteq Kerf^{l+1} [/mm] für alle l [mm] \in \IN
[/mm]
(ii)Falls [mm] Kerf^l [/mm] = [mm] Kerf^{l+1} [/mm] für ein l [mm] \in \IN, [/mm] dann gilt [mm] Kerf^{k} [/mm] = [mm] Kerf^{l}
[/mm]
für alle k [mm] \ge [/mm] l
(iii) Ist dimV = n und ist [mm] f^l [/mm] = 0_Hom(V,V) für ein l [mm] \in \IN, [/mm] dann gilt
[mm] f^n [/mm] = 0_Hom(V,V)
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Hallo!
Also ich habe schon bei der Teilaufgabe i, keine richtigen Ideen, ich weiss nicht wie ich argumenieren soll. Ich hab versucht es per Induktion über l zu beweisen, aber schon der Induktionsanfang klappt bei mir nicht...Woher soll ich denn wissen, dass die Menge der Vektoren aus V die auf 0 abgebildet werden, kleiner bzw. gleich der Menge der Vektoren aus Bildf, die von f auf die 0 abgebildet werden ist?
Wahrscheinlich muss ich die Linearität von f benutzten, aber wie??
Vielen Dank im voraus!
wimath
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Di 17.01.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo wimath,
Induktion ist (sowohl für (i) als auch für (ii), (iii) hab ich mir noch nicht genau überlegt) schonmal der richtige Weg.
Der Induktionsanfang zu (i) beinhaltet an sich schon den kompletten Beweis, darum erst mal nur ein Gedanke:
Wenn für ein x [mm] \in [/mm] V gilt f(x) = 0, was ist dann [mm] f^2(x) [/mm] = f(f(x))? (Wie Du schon richtig vermutest muss man dafür die Linearität von f ausnutzen, aber nur einen kleinen Teil).
Damit müsste (i) eigentlich zu schaffen sein.
Gruß
piet
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