Kern einer Matrix bestimmen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:22 Mo 10.09.2012 | | Autor: | dudu93 |
Hallo! Ich habe eine Frage.
Und zwar geht es darum, den Kern einer Matrix zu bestimmen. Ich habe gelernt, dass man den kern bekommt, in dem man Ax = 0 setzt.
Und dann die jeweiligen Variablen bestimmt und folglich den Vektor mit "span" angibt.
Nun habe ich in einer Musterlösung allerdings gesehen, dass dort der Kern einfach abgelesen wurde. Nämlich nachdem man die Lösungsmenge Ax = b gelöst hat.
Zum Beispiel:
[mm] \begin{pmatrix} -0,5 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] t\begin{pmatrix} -1/4 \\ 7/2 \\ -1/2 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Laut Musterlösung wäre es:
Kern A = span [mm] \begin{pmatrix} -1/4 \\ 7/2 \\ -1/2 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Wenn ich die erste Variante durchführe, kommt etwas anderes raus, was aber komischerweise vom Korrekteur als richtig bewertet wurde.
Was ist denn nun richtig? LG
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moin,
Nehmen wir mal an du hast das LGS
$Ax = b$ und hast als Lösung $x= a + t*v$ für zwei Vektoren $a,v$ und eine beliebige Zahl $t$, also so wie in deinem Fall.
Dann gilt:
$b= A(a+tv) = Aa + tAv$
Da du aber auch insbesondere für $t=0$ eine Lösung hast erhältst du $Aa + tAv = b = Aa$ und damit $tAv = 0$, also $tv [mm] \in$ [/mm] Kern$(A)$.
Hast du also deine Lösungen für ein LGS in der Form $x=a+tv$ oder allgemeiner $x=a+u$ für $u$ aus einem geeigneten Unterraum $U$ (etwa auch einer, der von zwei, drei oder wie vielen Vektoren auch immer aufgespannt wird) so ist damit $U [mm] \subseteq$ [/mm] Kern$(A)$ gezeigt.
Du musst jetzt also für die gewünschte Gleichheit noch [mm] $\supseteq$ [/mm] zeigen, das ist aber auch nicht all zu schwer.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Mo 10.09.2012 | | Autor: | dudu93 |
Danke für die Antwort!
So wie ich es gemacht habe (Ax=0), ist es aber auch nicht falsch, oder?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:08 Di 11.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein dein Weg ist richtig. wahrscheinlich hast du nur ein Vielfaches des anderen vektors raus und das nicht gesehen,
Gruss leduart
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