Kern einer Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Mo 23.07.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie [mm] ker(L-k_1 [/mm] * I), |
Hallo könnt ihr mir helfen?
[mm] L=\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}} \cdot \pmat{ -2v^2-1 & -2 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] k_1=\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}
[/mm]
I= [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
ker [mm] (\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{ -2v^2-2 & -2 \\ 0 & 0 })
[/mm]
jetzt hänge ich fest!
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Mo 23.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie [mm]ker(L-k_1[/mm] * I),
>
> Hallo könnt ihr mir helfen?
>
> [mm]L=\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}} \cdot \pmat{ -2v^2-1 & -2 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> [mm]k_1=\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}[/mm]
> I= [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> ker [mm](\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{ -2v^2-2 & -2 \\ 0 & 0 })[/mm]
>
> jetzt hänge ich fest!
Der gesuchte Kern besteht aus allen [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] mit:
[mm] (-2v^2-2)x-2y=0 [/mm] (*)
(*) gilt genau dann, wenn [mm] y=(v^2+1)x.
[/mm]
Edit: es lautet natürlich [mm] y=-(v^2+1)x
[/mm]
FRED
>
> Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Mo 23.07.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
Angenommen, ich hätte eine solche Matrix und würde den Kern bestimmen wollen:
[mm] \pmat{ -2v^2-2 & -2 \\ 2 & 0 } [/mm]
müsste ich dann [mm] (-2y^2-2)x [/mm] + 2x - 2y = 0 lösen?
++++
zur vorigen Aufgabe:
Ich müsste nachher auf [mm] X_1= \pmat{-1 \\ v^2+1} [/mm] kommen. Aber es ist mir nicht ersichtlich wie ich hierauf komme...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Mo 23.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Angenommen, ich hätte eine solche Matrix und würde den
> Kern bestimmen wollen:
>
> [mm]\pmat{ -2v^2-2 & -2 \\ 2 & 0 }[/mm]
>
> müsste ich dann [mm](-2y^2-2)x[/mm] + 2x - 2y = 0 lösen?
nein , dann mußt Du lösen:
[mm](-2y^2-2)x[/mm] - 2y = 0
2x=0
Dieses LGS hat aber nur eine Lösung: (0,0)
>
> ++++
> zur vorigen Aufgabe:
>
> Ich müsste nachher auf [mm]X_1= \pmat{-1 \\ v^2+1}[/mm] kommen.
Wieso ?
FRED
> Aber es ist mir nicht ersichtlich wie ich hierauf komme...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Mo 23.07.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
> > Angenommen, ich hätte eine solche Matrix und würde den
> > Kern bestimmen wollen:
> >
> > [mm]\pmat{ -2v^2-2 & -2 \\ 2 & 0 }[/mm]
> >
> > müsste ich dann [mm](-2y^2-2)x[/mm] + 2x - 2y = 0 lösen?
>
>
> nein , dann mußt Du lösen:
>
> [mm](-2y^2-2)x[/mm] - 2y = 0
>
> 2x=0
>
> Dieses LGS hat aber nur eine Lösung: (0,0)
> >
> > ++++
> > zur vorigen Aufgabe:
> >
> > Ich müsste nachher auf [mm]X_1= \pmat{-1 \\ v^2+1}[/mm] kommen.
>
> Wieso ?
das steht so bei mir in den Lösungen. Ich habe dort stehen:
[mm] ker(L-k_1 \cdot [/mm] I)=ker [mm] \pmat{ -2v^2-2 & -2 \\ 0 & 0 } [/mm] = [mm] <\pmat{ -1 \\ v^2+1}> \Rightarrow X_1=\pmat{ -1 \\ v^2+1}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Mo 23.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Angenommen, ich hätte eine solche Matrix und würde den
> > > Kern bestimmen wollen:
> > >
> > > [mm]\pmat{ -2v^2-2 & -2 \\ 2 & 0 }[/mm]
> > >
> > > müsste ich dann [mm](-2y^2-2)x[/mm] + 2x - 2y = 0 lösen?
> >
> >
> > nein , dann mußt Du lösen:
> >
> > [mm](-2y^2-2)x[/mm] - 2y = 0
> >
> > 2x=0
> >
> > Dieses LGS hat aber nur eine Lösung: (0,0)
> > >
> > > ++++
> > > zur vorigen Aufgabe:
> > >
> > > Ich müsste nachher auf [mm]X_1= \pmat{-1 \\ v^2+1}[/mm] kommen.
> >
> > Wieso ?
>
> das steht so bei mir in den Lösungen. Ich habe dort
> stehen:
>
> [mm]ker(L-k_1 \cdot[/mm] I)=ker [mm]\pmat{ -2v^2-2 & -2 \\ 0 & 0 }[/mm] =
> [mm]<\pmat{ -1 \\ v^2+1}> \Rightarrow X_1=\pmat{ -1 \\ v^2+1}[/mm]
Ja, das stimmt . Ich hatte mich oben verschrieben. Richtig lautet es
[mm] y=-(v^2+1)x
[/mm]
Siehst Du es jetzt ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Mo 23.07.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
> > > > Angenommen, ich hätte eine solche Matrix und würde den
> > > > Kern bestimmen wollen:
> > > >
> > > > [mm]\pmat{ -2v^2-2 & -2 \\ 2 & 0 }[/mm]
> > > >
> > > > müsste ich dann [mm](-2y^2-2)x[/mm] + 2x - 2y = 0 lösen?
> > >
> > >
> > > nein , dann mußt Du lösen:
> > >
> > > [mm](-2y^2-2)x[/mm] - 2y = 0
> > >
> > > 2x=0
> > >
> > > Dieses LGS hat aber nur eine Lösung: (0,0)
> > > >
> > > > ++++
> > > > zur vorigen Aufgabe:
> > > >
> > > > Ich müsste nachher auf [mm]X_1= \pmat{-1 \\ v^2+1}[/mm] kommen.
> > >
> > > Wieso ?
> >
> > das steht so bei mir in den Lösungen. Ich habe dort
> > stehen:
> >
> > [mm]ker(L-k_1 \cdot[/mm] I)=ker [mm]\pmat{ -2v^2-2 & -2 \\ 0 & 0 }[/mm] =
> > [mm]<\pmat{ -1 \\ v^2+1}> \Rightarrow X_1=\pmat{ -1 \\ v^2+1}[/mm]
>
>
> Ja, das stimmt . Ich hatte mich oben verschrieben. Richtig
> lautet es
>
> [mm]y=-(v^2+1)x[/mm]
>
> Siehst Du es jetzt ?
>
> FRED
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, müsste ich für x (-1) einsetzen um auf [mm] y=v^2+1 [/mm] zu kommen. [mm] \Rightarrow \pmat{ -1 \\ v^2+1 } [/mm] zu kommen. Wäre es denn auch richtig, wenn ich [mm] \pmat{1\\-(v^2+1)} [/mm] hätte?
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Hallo Bodo,
> > > > > Ich müsste nachher auf [mm]X_1= \pmat{-1 \\
v^2+1}[/mm] kommen.
> > Ja, das stimmt . Ich hatte mich oben verschrieben. Richtig
> > lautet es
> >
> > [mm]y=-(v^2+1)x[/mm]
> >
>
> Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, müsste ich
> für x (-1) einsetzen um auf [mm]y=v^2+1[/mm] zu kommen.
> [mm]\Rightarrow \pmat{ -1 \\
v^2+1 }[/mm] zu kommen.
Ja!
> Wäre es denn
> auch richtig, wenn ich [mm]\pmat{1\\
-(v^2+1)}[/mm] hätte?
Ja, jeder Vektor (aßer dem Nullvektor) [mm]\vektor{t\\
-(v^2+1)t}[/mm] mit [mm]t\in\IR[/mm] tut es als Basisvektor des Kernes.
Auch zB. für [mm]t=\pi[/mm] dann [mm]\vektor{\pi\\
-(v^2+1)\pi}[/mm] ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Mo 23.07.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
ok! Super, das dürfte ich jetzt verstanden haben.
Wenn ich nun von L die Eigenwerte ausrechnen möchte, dann muss ich doch [mm] (-2v^2-1-\lambda)(1-\lambda) [/mm] rechnen, oder? Ausmultipliziert ergäbe das dann, [mm] -2v^2+2v^2\lambda [/mm] - 1 + [mm] \lambda [/mm] - [mm] \lambda [/mm] + [mm] \lambda^2 [/mm] = [mm] -2v^2+2v^2\lambda-1 [/mm] + [mm] \lambda^2. [/mm] Wie würde das jetzt weiter gehen?
Wenn ich ja eine Diagonalmatrix habe [mm] \pmat{1&0\\0&1} [/mm] dann sind ja gerade 1,1 meine Eigenwerte, durch einfaches ablesen... wie ist es aber, wenn ich eine Matrix habe wo außerhalb der Diagonalen keine Nullen sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Mo 23.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> ok! Super, das dürfte ich jetzt verstanden haben.
>
> Wenn ich nun von L die Eigenwerte ausrechnen möchte, dann
> muss ich doch [mm](-2v^2-1-\lambda)(1-\lambda)[/mm] rechnen, oder?
Du mußt die [mm] \lambda [/mm] bestimmen, für die
(*) [mm](-2v^2-1-\lambda)(1-\lambda)=0[/mm]
gilt.
> Ausmultipliziert
Das würde ich nicht tun ! Aus (*) folgt doch sofort
[mm] \lambda=1 [/mm] oder [mm] \lambda =-2v^2-1.
[/mm]
> ergäbe das dann, [mm]-2v^2+2v^2\lambda[/mm] - 1 +
> [mm]\lambda[/mm] - [mm]\lambda[/mm] + [mm]\lambda^2[/mm] = [mm]-2v^2+2v^2\lambda-1[/mm] +
> [mm]\lambda^2.[/mm] Wie würde das jetzt weiter gehen?
>
> Wenn ich ja eine Diagonalmatrix habe [mm]\pmat{1&0\\0&1}[/mm] dann
> sind ja gerade 1,1 meine Eigenwerte, durch einfaches
> ablesen...
Ja
> wie ist es aber, wenn ich eine Matrix habe wo
> außerhalb der Diagonalen keine Nullen sind?
Ist A eine quadratische Matrix, so sind die Eigenwerte von A gerade die Nullstellen des char. Polynoms [mm] p(\lambda)=det(A-\lambda [/mm] I)
(I= Einheitsmatrix)
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Mo 23.07.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
Ok!
Nochmal zum Rang!
Angenommen ich hätte ein [mm] k_2=\frac{-1}{(1+2v^2)^\frac{1}{2}}.
[/mm]
Dann [mm] ker(L-K_2 [/mm] I)= [mm] \frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{-2v^2-1 & -2 \\ 0 & 1}+\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{1}{2}}\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1} [/mm]
jetzt den Nenner mit [mm] (1+2v^2) [/mm] erweitern.
Nun: [mm] ker(L-K_2 [/mm] I)= [mm] \frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{-2v^2-1 & -2 \\ 0 & 1}+\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{1+2v^2 & 0 \\ 0 & 1+2v^2} [/mm]
= ker [mm] \pmat{0 & -2 \\ 0 & 2+2v^2} [/mm]
Also muss ich doch lösen:
[mm] 0\cdot [/mm] x - 2y = 0 und
[mm] 0\cdot [/mm] x - [mm] (2+2v^2)y [/mm]
stimmt das bis hierhin?
Dann müsste ja eigentlich [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] herauskommen. In der Lösung steht jedoch [mm] \vektor{1 \\ 0}? [/mm]
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Hallo nochmal,
> Ok!
>
> Nochmal zum Rang!
>
> Angenommen ich hätte ein
> [mm]k_2=\frac{-1}{(1+2v^2)^\frac{1}{2}}.[/mm]
> Dann [mm]ker(L-K_2[/mm] I)=
> [mm]\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{-2v^2-1 & -2 \\
0 & 1}+\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{1}{2}}\pmat{1 & 0 \\
0 & 1}[/mm]
>
> jetzt den Nenner mit [mm](1+2v^2)[/mm] erweitern.
>
> Nun: [mm]ker(L-K_2[/mm] I)=
> [mm]\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{-2v^2-1 & -2 \\
0 & 1}+\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{1+2v^2 & 0 \\
0 & 1+2v^2}[/mm]
>
> = ker [mm]\pmat{0 & -2 \\
0 & 2+2v^2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Also muss ich doch lösen:
>
> [mm]0\cdot[/mm] x - 2y = 0 und
> [mm]0\cdot[/mm] x - [mm](2+2v^2)y[/mm]
>
> stimmt das bis hierhin?
Ja!
>
> Dann müsste ja eigentlich [mm]\vektor{0 \\
0}[/mm] herauskommen.
Warum? Da steht doch [mm]0\cdot{}x[/mm] in den Gleichungen, welchen Wert [mm]x[/mm] also hat, spielt für die "Gesamtlösung" keine Rolle.
Jedes [mm]x=t[/mm] mit einem [mm]t\in\IR[/mm] tut es als Lösung, diejenigen mit [mm]x\neq 0[/mm] kommen als Eigenvektoren infrage, in der Musterlösung wurde der Einfachheit halber [mm]t=1[/mm] genommen ...
> In der Lösung steht jedoch [mm]\vektor{1 \\
0}?[/mm]
Allg.: Lösung sind die Vektoren [mm]\vektor{t\\
0}[/mm] mit [mm]t\in\IR[/mm].
Da Eigenvektoren per definitionem [mm]\neq[/mm] dem Nullvektor sind, nimm dir irgendein [mm]t\neq 0[/mm] her ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:19 Di 24.07.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
Super!
Ich habe aber zur Vorsicht nochmal eine Aufgabe gerechnet:
[mm] L=\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}} \pmat{ 2v^2+1 & 1 \\ 0 & -1 }
[/mm]
Eigenwerte: [mm] (2v^2+1-\lambda)(-1-\lambda)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_1=\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{1}{2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow: \lambda_2=\frac{-1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}
[/mm]
[mm] Ker(L-\lambda_1 \cdot [/mm] I): [mm] \frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{ 2v^2+1 & 1 \\ 0 & -1 } [/mm] - [mm] \frac{1}{(1+2v^2)^\frac{1}{2}} \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] = [mm] \frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{ 2v^2+1 & 1 \\ 0 & -1 } [/mm] - [mm] \frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}} \pmat{ 1+2v^2 & 0 \\ 0 & 1+2v^2 }
[/mm]
= ker [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & -2+2v^2 }
[/mm]
jetzt: 0x + y = 0 und 0x + (-2+2v)y =0 [mm] \Rightarrow \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
und für [mm] \lambda_2:
[/mm]
[mm] Ker(L-\lambda_2 \cdot [/mm] I): [mm] \frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{ 2v^2+1 & 1 \\ 0 & -1 } [/mm] - [mm] \frac{-1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}} \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } =\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{ 2v^2+1 & 1 \\ 0 & -1 } [/mm] + [mm] \frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}} \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 2+2v^2 & 1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
jetzt: [mm] (2+2v^2)x [/mm] + y = 0 [mm] \gdw (2+2v^2)x [/mm] = - y [mm] \Rightarrow \pmat{-1 \\ 2+2v^2}
[/mm]
Bitte um kurze Rückmeldung, ob das so in Ordnung ist! Danke und Grüße
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Hallo nochmal,
> Super!
>
> Ich habe aber zur Vorsicht nochmal eine Aufgabe gerechnet:
>
> [mm]L=\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}} \pmat{ 2v^2+1 & 1 \\
0 & -1 }[/mm]
>
> Eigenwerte: [mm](2v^2+1-\lambda)(-1-\lambda)[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda_1=\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{1}{2}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow: \lambda_2=\frac{-1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}[/mm]
>
> [mm]Ker(L-\lambda_1 \cdot[/mm] I):
> [mm]\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{ 2v^2+1 & 1 \\
0 & -1 }[/mm] - [mm]\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{1}{2}} \pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }[/mm] =
> [mm]\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{ 2v^2+1 & 1 \\
0 & -1 }[/mm] - [mm]\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}} \pmat{ 1+2v^2 & 0 \\
0 & 1+2v^2 }[/mm]
>
> = ker [mm]\pmat{ 0 & 1 \\
0 & -2+2v^2 }[/mm]
>
> jetzt: 0x + y = 0 und 0x + (-2+2v)y =0 [mm]\Rightarrow \vektor{1 \\
0}[/mm]
Aus einem Gleichungssystem folgt ein Vektor? Schlecht aufgeschrieben, aber richtig gemeint!
Also [mm]\operatorname{Kern}(L-\lambda_1\cdot{}I)=\left\langle\vektor{1\\
0}\right\rangle[/mm]
>
> und für [mm]\lambda_2:[/mm]
>
> [mm]Ker(L-\lambda_2 \cdot[/mm] I):
> [mm]\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{ 2v^2+1 & 1 \\
0 & -1 }[/mm] - [mm]\frac{-1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}} \pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 } =\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}}\pmat{ 2v^2+1 & 1 \\
0 & -1 }[/mm] + [mm]\frac{1}{(1+2v^2)^\frac{3}{2}} \pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }[/mm] = [mm]\pmat{ 2+2v^2 & 1 \\
0 & 0 }[/mm]
>
> jetzt: [mm](2+2v^2)x[/mm] + y = 0 [mm]\gdw (2+2v^2)x[/mm] = - y [mm]\Rightarrow \pmat{-1 \\
2+2v^2}[/mm]
Siehe Bem. zur Schreibweise oben.
Gerechnet hast du alles richtig!
>
> Bitte um kurze Rückmeldung, ob das so in Ordnung ist!
> Danke und Grüße
Gruß
schachuzipus
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