Kern einer Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 So 10.01.2010 | | Autor: | egal |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Kern der Matrix
[mm] A=\pmat{ 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 6 & 0}
[/mm]
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Hallo,
der Kern ist ja lt. Definition: [mm] A*\overrightarrow{x}=0
[/mm]
Meine Frage wäre, wie man das Gleichungssystem (2 Gleichungen und 4 Unbekannte) löst.
Abhilfe hab ich durch die Suchfunktion gefunden
[mm] \vmat{2 & 0 & 2 & 0 \parallel 0\\ 0 & 3 & 6 & 0\parallel 0\\ 0& 0 & 1& 0 \parallel s\\ 0& 0 & 0& 1\parallel t}
[/mm]
Sysem aufgelöst ergibt bei mir:
[mm] s*\pmat{ 0 \\ 0 \\0 \\ 0 \\ 1 }+ t*\pmat{ -1 \\-2 \\1 \\ 1 \\ 0 }
[/mm]
Jetzt die zweite Frage: wäre das denn dann: ker A= [mm] span<\pmat{ 0 \\ 0 \\0 \\ 0 \\ 1 }, \pmat{ -1 \\-2 \\1 \\ 1 \\ 0 }> [/mm] ????
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> Bestimmen Sie den Kern der Matrix
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> [mm]A=\pmat{ \red{2 }& 0 & 2 & 0 \\ 0 & \red{3} & 6 & 0}[/mm]
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> Hallo,
>
> der Kern ist ja lt. Definition: [mm]A*\overrightarrow{x}=0[/mm]
Hallo,
genau.
>
> Meine Frage wäre, wie man das Gleichungssystem (2
> Gleichungen und 4 Unbekannte) löst.
Hier nennst Du einen Punkt, der Dich später beim kritischen Beäugen Deiner Lösung stutzig machen sollte:
Du hast 4 Variablen, aber Deine Lösungsvektoren haben 5 Komponenten. Das kann nicht sein.
Lösungsmöglichkeit 1:
die führenden Zeilenelemente stehen in den Spalten 1 und 2, daher können die Variablen [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] frei gewählt werden:
[mm] x_4=t
[/mm]
[mm] x_3=s
[/mm]
die 2.Zeile teilt mit : [mm] 3x_2+6x_3=0, [/mm] also
[mm] x_2=-2x_3=-2s
[/mm]
Die 1. Zeile teilt mit: [mm] 2x_1+2x_3=0, [/mm] also
[mm] x_1=-x_3=-s.
[/mm]
Insgesamt:
die Lösungsvektoren haben die Gestalt [mm] \vec{x}=\vektor{-s\\-2s\\s\\t}=s*\vektor{-1\\-2\\1\\0}+t\vektor{0\\0\\0\\1}.
[/mm]
(Du hast irgendiwe die Nerven verloren und noch eine zusätzliche Komponente eingebaut.)
Die beiden vektoren sind zusammen eine Basis des Kerns.
Lösungsmöglichkeit 2:
bringe die Matrix auf reduzierte ZSF, dh. die führenden Elemente sind Einsen, und über und unter ihnen stehen nur Nullen:
[mm] \pmat{ \red{1 }& 0 & 1 & 0 \\ 0 & \red{1} & 2 & 0}
[/mm]
Ergänze gedachte Minuseinsen auf der Diagonalen:
[mm] \pmat{ \red{1 }& 0 & 1 & 0 \\ 0 & \red{1} & 2 & 0\\0&0&\green{-1}& 0\\ 0&0&0&\green{-1}},
[/mm]
Die Spalten mit grün sind eine Basis des Kerns.
Gruß v. Angela
>
> Abhilfe hab ich durch die Suchfunktion gefunden
>
> [mm]\vmat{2 & 0 & 2 & 0 \parallel 0\\ 0 & 3 & 6 & 0\parallel 0\\ 0& 0 & 1& 0 \parallel s\\ 0& 0 & 0& 1\parallel t}[/mm]
>
> Sysem aufgelöst ergibt bei mir:
>
> [mm]s*\pmat{ 0 \\ 0 \\0 \\ 0 \\ 1 }+ t*\pmat{ -1 \\-2 \\1 \\ 1 \\ 0 }[/mm]
>
> Jetzt die zweite Frage: wäre das denn dann: ker A=
> [mm]span<\pmat{ 0 \\ 0 \\0 \\ 0 \\ 1 }, \pmat{ -1 \\-2 \\1 \\ 1 \\ 0 }>[/mm]
> ????
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 So 10.01.2010 | | Autor: | egal |
hallo angela,
die dimension des kerns wäre dann aber trotzdem 2 oder?, weil du ja sagst, dass die zwei vektoren [mm] \vec{x}=\vektor{-s\\-2s\\s\\t}=s\cdot{}\vektor{-1\\-2\\1\\0}+t\vektor{0\\0\\0\\1}
[/mm]
zusammen einen Kern bilden???
Nun das war eine Aufgabe aus der Vorlesung und die Musterlösung ist folgende:
ker A= [mm] span<\cdot{}\vektor{0\\0\\0\\4},\vektor{1\\2\\-1\\0}>
[/mm]
beim zweiten sind einfach die Vorzeichen vertauscht und beim ersten hat er ne 4, statt ne 1... was hat er denn da bloß gemacht?... also falsch abgeschrieben hab ich auch nicht, hab mir nochmals das online-daten-blatt angeschaut und da steht dasselbe... komisch
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Hallo egal,
> hallo angela,
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> die dimension des kerns wäre dann aber trotzdem 2 oder?,
> weil du ja sagst, dass die zwei vektoren
> [mm]\vec{x}=\vektor{-s\\-2s\\s\\t}=s\cdot{}\vektor{-1\\-2\\1\\0}+t\vektor{0\\0\\0\\1}[/mm]
> zusammen einen Kern bilden???
DEN Kern
Sage besser, die Vektoren [mm] $\vektor{-1\\-2\\1\\0},\vektor{0\\0\\0\\1}$ [/mm] spannen den Kern auf, bzw. der Kern ist [mm] $\left\{s\cdot{}\vektor{-1\\-2\\1\\0}+t\cdot{}\vektor{0\\0\\0\\1}\mid s,t\in\IR\right\}$, [/mm] also die Menge aller (reellen) Linearkombinationen der beiden Vektoren.
>
> Nun das war eine Aufgabe aus der Vorlesung und die
> Musterlösung ist folgende:
>
> ker A= [mm]span<\cdot{}\vektor{0\\0\\0\\4},\vektor{1\\2\\-1\\0}>[/mm]
>
> beim zweiten sind einfach die Vorzeichen vertauscht und
> beim ersten hat er ne 4, statt ne 1... was hat er denn da
> bloß gemacht?... also falsch abgeschrieben hab ich auch
> nicht, hab mir nochmals das online-daten-blatt angeschaut
> und da steht dasselbe... komisch
Mit [mm] $\tilde{s}=-s$ [/mm] und [mm] $\tilde{t}=4t$ [/mm] durchlaufen mit $s,t$ auch [mm] $\tilde{s},\tilde{t}$ [/mm] ganz [mm] $\IR$, [/mm] das Erzeugnis aus der Musterlösung und dasjenige, das Angela konstruiert hat, sind also identisch ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 So 10.01.2010 | | Autor: | egal |
puhh... könntest du das nochmals erklären, wieso das identisch ist?. hab iwie nichts verstanden, sorry.
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Hallo nochmal,
> puhh... könntest du das nochmals erklären, wieso das
> identisch ist?. hab iwie nichts verstanden, sorry.
Na, es werden doch alle reellen Linearkombinationen der beiden Vektoren betrachtet. Die bilden den Kern.
Bei Angela ist das $ [mm] \left\{s\cdot{}\vektor{-1\\-2\\1\\0}+t\cdot{}\vektor{0\\0\\0\\1}\mid s,t\in\IR\right\} [/mm] $
Hier durchlaufen $s,t$ ganz [mm] $\IR$. [/mm] Setze [mm] $\tilde{s}=-s$ [/mm] und [mm] $\tilde{t}=\frac{1}{4}t$, [/mm] dann durchlaufen [mm] $\tilde{s},\tilde{t}$ [/mm] doch auch alle reellen Zahlen, oder?
Damit hast du dann
[mm] $\left\{s\cdot{}\vektor{-1\\-2\\1\\0}+t\cdot{}\vektor{0\\0\\0\\1}\mid s,t\in\IR\right\} [/mm] = [mm] \left\{-\tilde{s}\cdot{}\vektor{-1\\-2\\1\\0}+4\tilde{t}\cdot{}\vektor{0\\0\\0\\1}\mid \tilde{s},\tilde{t}\in\IR\right\} [/mm] $
Gleichbedeutend mit $ [mm] \left\{\tilde{s}\cdot{}\vektor{1\\2\\-1\\0}+\tilde{t}\cdot{}\vektor{0\\0\\0\\4}\mid \tilde{s},\tilde{t}\in\IR\right\} [/mm] $
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 So 10.01.2010 | | Autor: | egal |
gecheckt!, danke und schönen abend euch beiden 
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