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| Aufgabe | geg. A= [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 6 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}
[/mm]
gesucht ist der kern der matrix |
der rang der matrix ist ja 4, also muss die dimension des kerns ja 5 sein ( laut dimensionsformel). wenn ich jetzt das gls A*x=0 löse bekomme ich doch nur einen vektor raus und nicht 5 (wegen dim(ker(A))=5). oder hab ich da irgendwie nen denkfehler drin.
das was ich für x rausbekommen hab ist jedenfalls x= [mm] \begin{pmatrix}
0 \\ -5 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \\ -4 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
das müsste doch eigentlich Ax=0 lösen, oder?
danke schonmal für die hilfe.
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt
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> geg. A= [mm]\begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 6 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}[/mm]
>
> gesucht ist der kern der matrix
> der rang der matrix ist ja 4, also muss die dimension des
> kerns ja 5 sein ( laut dimensionsformel).
hallo,
ja, genau.
> wenn ich jetzt
> das gls A*x=0 löse bekomme ich doch nur einen vektor raus
> und nicht 5 (wegen dim(ker(A))=5). oder hab ich da
> irgendwie nen denkfehler drin.
Ja.
> das was ich für x rausbekommen hab ist jedenfalls x=
> [mm]\begin{pmatrix}
0 \\ -5 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \\ -4 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> das müsste doch eigentlich Ax=0 lösen, oder?
das tut der Vektor schon, aber es gibt noch andere, die dies tun und keine Vielfachen von Deinem Vektor sind.
So kannst Du sie systematisch finden:
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen Deiner Matrix in Zeilenstufenform stehen in Spalte 2,4,7,8.
Somit kannst Du die Variablen 1,3,5,6,9 frei wählen.
mit [mm] x_9:=r, x_6:=s, x_5:=t, x_3=u, x_1=v [/mm] erhält man
aus Zeile 4
[mm] x_8=-4x_9=-4r,
[/mm]
aus Zeile 3
[mm] x_7=-4r,
[/mm]
aus zeile 2
[mm] x_4=-4t [/mm] - 6s - 2r,
aus Zeile 1
[mm] x_2=2u [/mm] -3t -s -r.
Also haben die Lösungen die Gestalt [mm] \vektor{x_1\\\vdots\\x_9}=\vektor{v\\2u -3t -s -r\\u\\-4t - 6s - 2r\\t\\s\\-4r\\-4r\\r}=r*\vektor{0\\-1\\0\\-2\\0\\0\\-4\\-4\\1}+s*...+t*...+u*...+v*...
[/mm]
Die 5 Vektoren sind dann eine Basis des Kerns (=Lösungsraums des homogenen LGS).
Da Deine Matrix sogar in reduzierter ZSF vorliegt, kann man den Kern auch sehr leicht mit dem "-1-Trick" bestimmen.
Ich habe das in diesem Beitrag erklärt.
Gruß v. Angela
>
> danke schonmal für die hilfe.
>
> ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt
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