Kern & Bild mit Polynomen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Do 02.06.2005 | | Autor: | Max_well |
Hallo allerseits,
Was Kern und Bild einer linearen Abb. sind, habe ich eigentlich verstanden, aber bei der folgenden Aufgabe sind Polynome statt Matrizen angegeben.
Also:
L : [mm] \IR_{\le1} [/mm] [x] [mm] \to \IR_{\le2} [/mm] [x]
a+b*x [mm] \mapsto a-b*x+(a+b)x^2
[/mm]
Der Kern von L ist dann, glaube ich:
Kern(L)={p [mm] \in \IR_{\le1} [/mm] [x] | L(p)=0} = {a+b*x | a=0, b=0}
Bei dem Bild bin ich mir noch weniger sicher:
Bild(L)={L(p) | p [mm] \in \IR_{\le1} [/mm] [x]} = [mm] \IR^2 [/mm] ?
Außerdem habe ich Schwierigkeiten eine Basis des Bildes zu bestimmen? Schwer sein kann's nicht, aber ich finde lin. Abb. mit Polynomen anstatt von Martizen ziemlich verwirrend.
Bedanke mich schonmal vielmals für eine Antwort.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Do 02.06.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
dein Kern ist richtig, nur das Nullpolynom wird auf das Nullpolynom abgebildet.
Für das Bild überlege dir doch mal folgende Schreibweise von Polynomen, wo jeder Koeffizient als Vektorkomponente (in der richtigen Reihenfolge, d.h. zur Standard-Basis der Monome) geschrieben wird, dann lauten deine Abbildung: $ [mm] L(\vektor{a\\b})=\vektor{a\\-b\\a+b} [/mm] $
(dies nutzt einen Isomorphismus aus, also denke nicht, dass das Bild im $ [mm] \IR^3 [/mm] $ liegt)
Das Bild ist also eine Teilmenge der Polynome vom Grad höchstens 2.
Eine Basis erkennst du nun sicherlich schon am obigen Vektor (trenne die unterschiedlichen Variabeln in verschiedene Vektoren)
hoffe es hilft
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Do 02.06.2005 | | Autor: | Max_well |
Diese Schreibweise kannte ich vorher nicht - werde mit das mal durch den Kopf gehen lassen.
Danke für die schnelle Antwort.
Max
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