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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Kern / Bild / Basis
Kern / Bild / Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Kern / Bild / Basis: Basisbestimmung v Kern / Bild
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:48 Mi 05.07.2006
Autor: Albinisi

Aufgabe
Die lineare Abbildung [mm] \varphi: \IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] sei definiert durch [mm] \varphi [/mm]  ( [mm] \vektor{x \\ y \\ z}) [/mm] = [mm] \vektor{2x - y + z \\ x + \alpha z \\ y + z}, \alpha \in \IR. [/mm] Bestimmen Sie in Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] jeweils eine Basis von Kern [mm] \varphi [/mm] und Bild [mm] \varphi. [/mm]

Hallo,

bin gerade in meiner hausgemachten Verwirrung gefangen. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Also wenn ich das richtig sehe ist der Kern für [mm] \alpha [/mm] = 1:  [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ -1} [/mm] und für [mm] \alpha \not= [/mm] 1: Nullvektor.

Ist das Bild [mm] \pmat{ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & \alpha \\ 0 & 1 & 1} [/mm] ?

Sehr optimistisch angenommen es stimmt, wie muss ich dann weitermachen?

Schon mal Danke.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Kern / Bild / Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:58 Mi 05.07.2006
Autor: Jan_Z

Hallo,
das Bild ist nicht die Matrix, die du hingeschrieben hast, sondern der Unterraum, der von ihren Spalten erzeugt wird. Um eine Basis vom Bild zu bekommen, musst du also diese Spaltenvektoren linear kombinieren, bist du siehst, welche "wegfallen".
Viele Grüße,
Jan

Bezug
                
Bezug
Kern / Bild / Basis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:48 Do 06.07.2006
Autor: Albinisi

Alles klar.

Danke.

Bezug
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