Kern- und Dimensionsbestimmung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Fr 03.12.2010 | | Autor: | skoopa |
| Aufgabe | Seien K ein Körper, V, U, W K-Vektorräume, f, g K-lineare Abbildungen mit f: U [mm] \to [/mm] V und g: V [mm] \to [/mm] W. Sei weiterhin Hom(V,W) die Menge der Homomorphismen von V nach W und h: Hom(U,V) [mm] \to [/mm] Hom (U,W) , f [mm] \mapsto [/mm] h(f):=g [mm] \circ [/mm] f.
(i) Zeigen Sie: Kern(h) = {f [mm] \in [/mm] Hom(U,V) | Bild(f) [mm] \subseteq [/mm] Kern(g)}
(ii) Bestimmen Sie dim(Kern(h)) und dim(Bild(h)) in Abhängigkeit der Dimensionen von U,V,W und Kern(g). |
Hey Freunde der Mathe!
Ich schweife gerade in Gedanken um die obige Aufgabe. Hab die heute von nem Freund gezeigt bekommen, und würde sie gerne lösen, weiß allerdings nicht so recht wie ich anfangen soll. (Hab die Aufgabe aus dem Kopf aufgeschrieben, hoffe sie ist so überhaupt sinnig:)
Hier mal meine Gedanken:
Durch einfaches Nachrechnen kann gezeigt werden, dass h K-linear ist, damit das für das Folgende schon mal gesichert ist.
(i) Der Kern von h ist ja definiert durch:
Kern(h)={f [mm] \in [/mm] Hom(U,V)| (h(f))(u)=(g [mm] \circ [/mm] f)(u)=g(f(u))=0 [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U}
Und jetzt weiß ich nicht so recht, weil eigentlich stehts ja da.
Denn wenn [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U g(f(u))=0 gilt, dann gilt f(u) [mm] \in [/mm] Kern(g) [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U.
Und da das Bild(f) gerade gegeben ist durch Bild(f)={v [mm] \in [/mm] V | [mm] \exists [/mm] u [mm] \in [/mm] U: v=f(u)} und f(u) [mm] \in [/mm] Kern(g) [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U gilt Bild(f) [mm] \subseteq [/mm] Kern(g).
Stimmt das überhaupt?
Und wäre ich damit schon fertig?
(ii) Hier weiß ich irgendwie so gar nicht weiter.
Alles was ich bisher sagen kann ist, dass wegen der Dimensionsformel gilt:
dim(Bild(g))=dim(V) - dim(Kern(g)).
Aber irgendwie weiß ich nicht so recht, wie ich an die Dimension von Hom(U,V) rankommen soll.
Ich hab mir jetzt grad überlegt, dass dim(Hom(U,V)) [mm] \le [/mm] max(dim(U),dim(V)). Stimmt das? Bringt das was?
Wäre super, wenn mir jemand Tipps, Anmerkungen, Verbesserungen,etc. hätte!
DankeDankeDanke schon mal!
Grüße!
skoopa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:16 Mo 06.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien K ein Körper, V, U, W K-Vektorräume, f, g K-lineare
> Abbildungen mit f: U [mm]\to[/mm] V und g: V [mm]\to[/mm] W. Sei weiterhin
> Hom(V,W) die Menge der Homomorphismen von V nach W und h:
> Hom(U,V) [mm]\to[/mm] Hom (U,W) , f [mm]\mapsto[/mm] h(f):=g [mm]\circ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
f.
>
> (i) Zeigen Sie: Kern(h) = {f [mm]\in[/mm] Hom(U,V) | Bild(f)
> [mm]\subseteq[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Kern(g)}
>
> (ii) Bestimmen Sie dim(Kern(h)) und dim(Bild(h)) in
> Abhängigkeit der Dimensionen von U,V,W und Kern(g).
>
> Ich schweife gerade in Gedanken um die obige Aufgabe. Hab
> die heute von nem Freund gezeigt bekommen, und würde sie
> gerne lösen, weiß allerdings nicht so recht wie ich
> anfangen soll. (Hab die Aufgabe aus dem Kopf
> aufgeschrieben, hoffe sie ist so überhaupt sinnig:)
> Hier mal meine Gedanken:
>
> Durch einfaches Nachrechnen kann gezeigt werden, dass h
> K-linear ist, damit das für das Folgende schon mal
> gesichert ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (i) Der Kern von h ist ja definiert durch:
> Kern(h)={f [mm]\in[/mm] Hom(U,V)| (h(f))(u)=(g [mm]\circ[/mm]
> f)(u)=g(f(u))=0 [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U}
> Und jetzt weiß ich nicht so recht, weil eigentlich stehts
> ja da.
> Denn wenn [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] U g(f(u))=0 gilt, dann gilt f(u)
> [mm]\in[/mm] Kern(g) [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U.
> Und da das Bild(f) gerade gegeben ist durch Bild(f)={v [mm]\in[/mm]
> V | [mm]\exists[/mm] u [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U: v=f(u)} und f(u) [mm]\in[/mm] Kern(g) [mm]\forall[/mm] u
> [mm]\in[/mm] U gilt Bild(f) [mm]\subseteq[/mm] Kern(g).
> Stimmt das überhaupt?
> Und wäre ich damit schon fertig?
Ja, das stimmt so, und damit bist du fertig.
> (ii) Hier weiß ich irgendwie so gar nicht weiter.
> Alles was ich bisher sagen kann ist, dass wegen der
> Dimensionsformel gilt:
> dim(Bild(g))=dim(V) - dim(Kern(g)).
> Aber irgendwie weiß ich nicht so recht, wie ich an die
> Dimension von Hom(U,V) rankommen soll.
> Ich hab mir jetzt grad überlegt, dass dim(Hom(U,V)) [mm]\le[/mm]
> max(dim(U),dim(V)). Stimmt das? Bringt das was?
Das stimmt nicht. $Hom(U, V)$ entspricht doch den [mm] $\dim(U) \times \dim(V)$-Matrizen.
[/mm]
Welche Dimension hat der Raum der [mm] $\dim(U) \times \dim(V)$-Matrizen?
[/mm]
> Wäre super, wenn mir jemand Tipps, Anmerkungen,
> Verbesserungen,etc. hätte!
Es ist doch [mm] $\ker [/mm] h = Hom(U, [mm] \ker [/mm] g)$ nach (i). Damit kannst du die Dimension von [mm] $\ker [/mm] h$ angeben.
Und [mm] $\dim [/mm] Bild(h)$ bestimmst du dann mit der Dimensionsformel wie oben.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Mo 06.12.2010 | | Autor: | skoopa |
Hey!
Also erstmal vielsten Dank an dich, Felix!
Vielleicht schaff ichs diesmal auch alle Klammern richtig zu setzen:)
Also der erste Teil ist abgehakt.
Teil (ii):
Die Dimension des Vektorraumes der (m [mm] \times [/mm] n)-Matrizen ist m*n, weil man eine Basis angeben kann, die so aussieht, dass [mm] E_{ij}\in K^{m \times n} [/mm] die Basisvektoren sind mit einer 1 am i-j-ten Eintrag und sonst Nullen. Und diese linearunabhängige Familie hat die Länge m*n.
Damit ist dann also, wie gesagt wurde:
dim(Kern(h))=dim(Hom(U,Kern(g))=dim(U)*dim(Kern(g)).
Und es ist mit den obigen Identitäten:
dim(Bild(h))=dim(Hom(U,V))-dim(Kern(h))=dim(U)*[dim(V)-dim(Kern(g))].
Stimmt das dann so alles?
Danke nochmal!
Viele Grüße!
skoopa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Mo 06.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin skoopa!
> Also erstmal vielsten Dank an dich, Felix!
> Vielleicht schaff ichs diesmal auch alle Klammern richtig
> zu setzen:)
:)
> Also der erste Teil ist abgehakt.
> Teil (ii):
> Die Dimension des Vektorraumes der (m [mm]\times[/mm] n)-Matrizen
> ist m*n, weil man eine Basis angeben kann, die so aussieht,
> dass [mm]E_{ij}\in K^{m \times n}[/mm] die Basisvektoren sind mit
> einer 1 am i-j-ten Eintrag und sonst Nullen. Und diese
> linearunabhängige Familie hat die Länge m*n.
> Damit ist dann also, wie gesagt wurde:
> dim(Kern(h))=dim(Hom(U,Kern(g))=dim(U)*dim(Kern(g)).
Genau!
> Und es ist mit den obigen Identitäten:
>
> dim(Bild(h))=dim(Hom(U,V))-dim(Kern(h))=dim(U)*[dim(V)-dim(Kern(g))].
Das stimmt auch :)
LG Felix
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