Kein Ansatz zur Integrallösung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Mi 13.08.2008 | | Autor: | Knaggy |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{a}^{b}{x^5*\wurzel{1+x^3} dx} [/mm] |
Hallo, ich verzweifle gerade an dem Integral [mm] \integral_{a}^{b}{x^5*\wurzel{1+x^3} dx}
[/mm]
Ich denke, dass zuerst substituiert werden muss. Doch was?
Ich habe u.a. schon [mm] z=1+x^3 [/mm] probiert, jedoch ohne Erfolg.
Derive liefert mir zwar ein richtiges, aber nicht nachvollziehbares Ergebnis.
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Vielen Dank, Felix.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de/forum/Kein-Ansatz-fuer-Integral
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> [mm]\integral_{a}^{b}{x^5*\wurzel{1+x^3} dx}[/mm]
> Hallo, ich
> verzweifle gerade an dem Integral
> [mm]\integral_{a}^{b}{x^5*\wurzel{1+x^3} dx}[/mm]
> Ich denke, dass
> zuerst substituiert werden muss. Doch was?
> Ich habe u.a. schon [mm]z=1+x^3[/mm] probiert, jedoch ohne Erfolg.
> Derive liefert mir zwar ein richtiges, aber nicht
> nachvollziehbares Ergebnis.
> Kann mir da jemand weiterhelfen?
Wie wär's wenn Du, kombiniert mit dieser Substitution, partiell integrieren würdest:
[mm]\begin{array}{lcl}
\displaystyle\int x^5*\wurzel{1+x^3}\;dx &=& \displaystyle\int \red{\underset{\downarrow}{x^3}}\cdot \blue{\underset{\uparrow}{\sqrt{1+x^3}\cdot x^2}}\;dx\\
&=& \displaystyle x^3\cdot\frac{2}{9}(1+x^3)^{3/2}-\int 3x^2\cdot \frac{2}{9}\cdot (1+x^3)^{3/2}\;dx\\[.3cm]
&=& \displaystyle x^3\cdot\frac{2}{9}(1+x^3)^{3/2}-\frac{4}{45}\cdot(1+x^3)^{5/2}
\end{array}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Mi 13.08.2008 | | Autor: | Knaggy |
Danke erstmal für die schnelle Antwort!
Der Ansatz [mm] x^5 [/mm] durchc [mm] x^3 [/mm] * [mm] x^2 [/mm] auszudrücken ist genial, wie kommt man da nur drauf...
Wenn ich nun aber [mm] \integral_{}^{}{x^3\cdot{}\wurzel{1+x^3}\cdot{}x^2 dx} [/mm] habe und nun z = [mm] 1+x^3 [/mm] Substituiere habe ich doch als nächsten Schritt: [mm] \integral_{}^{}{(z-1)\cdot{}\wurzel{z} dz}
[/mm]
Wäre es da nicht naheliegend den Term auszumultiplizieren => [mm] \integral_{}^{}{1/3\cdot{}z^{3/2} - 1/3 \cdot{} z^{1/2} dz} [/mm] und dann die einzelnen Summanden zu integrieren, so dass ich folgendes erhalte(hier habe ich z wieder durch x ausgedrückt):
[mm] 2/15\cdot{}(1+x^3)^{3/2} [/mm] - [mm] 2/9\cdot{}(1+x^3)^{1/2} [/mm] ?
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> Danke erstmal für die schnelle Antwort!
> Der Ansatz [mm]x^5[/mm] durchc [mm]x^3[/mm] * [mm]x^2[/mm] auszudrücken ist genial,
> wie kommt man da nur drauf...
> Wenn ich nun aber
> [mm]\integral_{}^{}{x^3\cdot{}\wurzel{1+x^3}\cdot{}x^2 dx}[/mm] habe
> und nun z = [mm]1+x^3[/mm] Substituiere habe ich doch als nächsten
> Schritt: [mm]\integral_{}^{}{(z-1)\cdot{}\wurzel{z} dz}[/mm]
> Wäre
> es da nicht naheliegend den Term auszumultiplizieren =>
> [mm]\integral_{}^{}{1/3\cdot{}z^{3/2} - 1/3 \cdot{} z^{1/2} dz}[/mm]
> und dann die einzelnen Summanden zu integrieren,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ist einfacher, also das, was ich so auf Anhieb zusammengewurstelt habe
> so dass
> ich folgendes erhalte(hier habe ich z wieder durch x
> ausgedrückt):
> [mm]2/15\cdot{}(1+x^3)^{3/2}[/mm] - [mm]2/9\cdot{}(1+x^3)^{1/2}[/mm] ?
Dein Weg ist gut, nur ist dieses Ergebnis leider falsch: denn wenn Du [mm] $z^{3/2}$ [/mm] integrierst, erhältst Du [mm] $\tfrac{2}{5}z^{5/2}$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 Mi 13.08.2008 | | Autor: | Knaggy |
Super vielen Dank, ich wunderte mich die ganze Zeit, warum mein Weg nicht hinhaut.
MfG Felix.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Mi 13.08.2008 | | Autor: | Knaggy |
Ouch, den gleichen Fehler habe ich beim zweiten Summanden auch gemacht, das richtige Ergebnis müsste also lauten: [mm] 2/15\cdot{}(1+x^3)^{5/2} [/mm] - [mm] 2/9\cdot{}(1+x^3)^{3/2} [/mm]
Ich hatte bei beiden Exponenten vergessen sie um 1 zu erhöhen.
Ich soll dieses Integral in den Grenzen 1,0 bestimmen. Also einfach eine 1 einsetzen, da kommt jedoch ~0,126 bei raus. Das richtige Ergebnis ist jedoch ~0,21. Habe ich jetzt völlig ein Brett vorm Kopf? :(
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Hi,
deine Stammfunktion ist richtig. Ich denke du meinst folgende Grenze [0,1] richtig? Also [mm] \integral_{\blue{0}}^{\red{1}}{x^{5}\wurzel{1+x³} dx} [/mm] (Obersumme minus Untersumme)
Dann musst du folgendes rechnen:
[mm] (\bruch{2}{15}(1+(\red{1})³)^\bruch{5}{2}-\bruch{2}{9}(1+(\red{1})³)^\bruch{3}{2})-(\bruch{2}{15}(1+(\blue{0})³^\bruch{5}{2}-\bruch{2}{9}(1+(\blue{0})³)^\bruch{3}{2})
[/mm]
Und hier kommt auch tatsächlich [mm] \appox \\0,21 [/mm] heruas 
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:14 Mi 13.08.2008 | | Autor: | Knaggy |
Argh, danke, ich hatte ein Brett vorm Kopf!
Du hast recht ich meine die Grenzen [0,1]. Ich habe einfach ohne groß Nachzudenken die Untersumme weggelassen, weil die bestimmt wegfällt wegen der Null. Fataler Fehler.
Also nochmal vielen Dank an alle Beteiligten!
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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Potenzregel