Kegel im normierten Raum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:39 Mo 13.12.2010 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Sei X ein reeller normierter Raum. Eine Teilmenge [mm] K\subset [/mm] X heißt Kegel, falls K abgeschlossen und konvex ist sowie [mm] tK\subset [/mm] K für alle [mm] t\ge0 [/mm] gilt.
K* [mm] :=\{x'\in X':x'(x)\ge0 \forall x\inK\} [/mm] heißt der zu K duale Kegel. Zeigen Sie:
Ist [mm] -K\cap [/mm] K={0},so gibt es zu jedem [mm] x\in [/mm] K, [mm] x\neq0, x'\in [/mm] K* mit x'(x)>0. |
Hallo,
ich bin hier leider etwas überfragt. Zuerst wollte ich [mm] x'(x)=\sum_{i} \bruch{1}{i^2}*x_{i} [/mm] setzen, bin mir aber unsicher, ob meine [mm] x_i [/mm] beschränkt sind. Falls nicht, klappt die Argumentation nicht. Wie muss ich dann vorgehen?
Gruß
DerGraf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:10 Di 14.12.2010 | | Autor: | max3000 |
Ich würd ja mal sagen du musst den Trennungssatz für konvexe Mengen anwenden.
K und -K sind ja konvex und wenn man den Rand abzieht sind die offen und durch eine Art Ebene durch den Nullpunkt trennbar.
Dann folgt auch die Aussage.
Hattet ihr diesen Satz schon?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:02 Di 14.12.2010 | | Autor: | DerGraf |
Vielen Dank für die Antwrot. Die Trennungssätze hatten wir schon :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Di 14.12.2010 | | Autor: | DerGraf |
Hallo,
ich habe heute versucht, mit dem Trennungssatz auf die Lösung zu kommen, bleibe aber an einer Stelle hängen.
Wir haben 2 Trennungssätze zur Verfügung. Der Erste geht von einer offenen konvexen Menge und einer konvexen Menge aus, der 2. von einer kompakten, konvexen und einer abgeschlossenen,konvexen Menge. Da meine Kegel nicht zwangsläufig kompakt sind, scheidet die zweite Variante aus. Mit der ersten bekomme ich aber nur gezeigt, dass x'(x)>0 für alle [mm] x\in K^{o} [/mm] ist. Was ist mit den Randelementen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:51 Mi 15.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> ich habe heute versucht, mit dem Trennungssatz auf die
> Lösung zu kommen, bleibe aber an einer Stelle hängen.
>
> Wir haben 2 Trennungssätze zur Verfügung. Der Erste geht
> von einer offenen konvexen Menge und einer konvexen Menge
> aus, der 2. von einer kompakten, konvexen und einer
> abgeschlossenen,konvexen Menge. Da meine Kegel nicht
> zwangsläufig kompakt sind, scheidet die zweite Variante
> aus. Mit der ersten bekomme ich aber nur gezeigt, dass
> x'(x)>0 für alle [mm]x\in K^{o}[/mm] ist.
fuer ein festes $x [mm] \in [/mm] K$, $x [mm] \neq [/mm] 0$ kannst du $K$ durch [mm] $K_1 [/mm] := K [mm] \cap B_r(0)$ [/mm] ersetzen mit $r > |x|$. Dann ist [mm] $K_1$ [/mm] eine kompakte konvexe Menge.
Als [mm] $K_2$ [/mm] nimmst du [mm] $\{ -x \}$. [/mm] Das ist ebenfalls kompakt und konvex.
Wende jetzt den zweiten Trennungssatz aus deiner Liste an.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Mi 15.12.2010 | | Autor: | DerGraf |
Danke für die Antwort, aber wo kommt die Kompaktheit her?
Gruß
DerGraf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Mi 15.12.2010 | | Autor: | felixf |
> Danke für die Antwort, aber wo kommt die Kompaktheit her?
Hmm. Sorry, ich war in Gedanken im Endlichdimensionalen... Das braucht man fuer mein Argument natuerlich... Sorry!
Der Weg von Fred sieht besser aus :)
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Mi 15.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Ihr hattet möglicherweise folgenden
SATZ: Ist K ein konvexer und abgeschlossener Kegel in einem normierten Raum X, so gilt für x [mm] \in [/mm] X:
$x [mm] \in [/mm] K$ [mm] \gdw [/mm] $x'(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x' [mm] \in K^{\star}$.
[/mm]
(diesen Satz beweist man mit Hilfe eine Trennungssatzes !)
Zu Deiner Aufgabe: Ist x [mm] \in [/mm] K und x [mm] \ne [/mm] 0, so nehmen wir an, dass für kein x' [mm] \in K^{\star}
[/mm]
gilt x'(x)>0.
Also: x'(x) [mm] \le [/mm] 0 für alle x' [mm] \in K^{\star} [/mm] und somit: x'(x) = 0 für alle x' [mm] \in K^{\star}.
[/mm]
Es ist -x [mm] \in [/mm] -K
Überlege Dir, dass aus obigem Satz folgt: -x [mm] \in [/mm] K
Damit kommst Du zu einem Widerspruch zu $ [mm] -K\cap [/mm] $ K={0}
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Mi 15.12.2010 | | Autor: | DerGraf |
Danke für deine Antwort Fred.
Als Begründung für [mm] -x\in [/mm] K bin ich auf folgende Rechnung gekommen:
x'(x)=0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] -x'(-x)=0 (Linearität des Funktionals)
[mm] \Rightarrow [/mm] x'(-x)=0 [mm] \Rightarrow x\in [/mm] K.
Stimmt das so?
Gruß
DerGraf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Mi 15.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Antwort Fred.
> Als Begründung für [mm]-x\in[/mm] K bin ich auf folgende Rechnung
> gekommen:
>
> x'(x)=0 [mm]\Leftrightarrow[/mm] -x'(-x)=0 (Linearität des
> Funktionals)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x'(-x)=0 [mm]\Rightarrow x\in[/mm] K.
>
> Stimmt das so?
Du hast dann x'(-x)=0 für jedes x' im dualen Kegel. Nach obigem Satz ist dann -x [mm] \in [/mm] K, also x [mm] \in [/mm] -K [mm] \cap [/mm] K
FRED
>
> Gruß
> DerGraf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:32 Do 16.12.2010 | | Autor: | DerGraf |
Vielen Dank Fred, du hast mir sehr geholfen :)
Gruß
DerGraf
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