Kardinalität - Sylow < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Fr 19.05.2006 | | Autor: | mariposa |
| Aufgabe | 1. Kann es eine einfache Gruppe mit 312 Elementen geben?
2. Ist jede Gruppe der Ordnung 177 zyklisch?
3. Ist G eine endliche abelsche Gruppe, so dass eine Primzahl p die Mächtigkeit von G teilt. Kann G dann mehrere p-Sylowuntergruppen haben?
4. Kann es eine einfache Gruppe mit 28 Elementen geben?
5. Ist G eine endliche Gruppe der Ordnung [mm] p_1p_2 [/mm] mit [mm] p_1,p_2 [/mm] prim und [mm] p_1 [/mm] < [mm] p_2. [/mm] Hat G dann eine normale [mm] p_2 [/mm] Sylowgruppe?
6. Ist jede Gruppe der Ordnung 65 zyklisch? |
Hallo,
zu den Aufgaben 2 und 6 habe ich selbst eine Lösung gefunden. Beide sind zyklisch, weil sie aus zwei Primzahlen bestehen, von denen die kleinere nicht die größere minus 1 teilt.
Ich habe aber keine Ahnung, wie ich mit Sylowsätzen und so etwas über die Normalteiler herausfinden kann. Insofern weiß ich nicht wie ich an Aufgabe 1,4 und 5 herangehe.
Vielen Dank
Maike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Fr 19.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Maike!
> 1. Kann es eine einfache Gruppe mit 312 Elementen geben?
> 2. Ist jede Gruppe der Ordnung 177 zyklisch?
> 3. Ist G eine endliche abelsche Gruppe, so dass eine
> Primzahl p die Mächtigkeit von G teilt. Kann G dann mehrere
> p-Sylowuntergruppen haben?
> 4. Kann es eine einfache Gruppe mit 28 Elementen geben?
> 5. Ist G eine endliche Gruppe der Ordnung [mm]p_1p_2[/mm] mit
> [mm]p_1,p_2[/mm] prim und [mm]p_1[/mm] < [mm]p_2.[/mm] Hat G dann eine normale [mm]p_2[/mm]
> Sylowgruppe?
> 6. Ist jede Gruppe der Ordnung 65 zyklisch?
> Hallo,
>
> zu den Aufgaben 2 und 6 habe ich selbst eine Lösung
> gefunden. Beide sind zyklisch, weil sie aus zwei Primzahlen
> bestehen, von denen die kleinere nicht die größere minus 1
> teilt.
Genau. Und da zyklische Gruppen von nicht-Primzahl-Ordnung nicht einfach sind bist du fertig.
> Ich habe aber keine Ahnung, wie ich mit Sylowsätzen und so
> etwas über die Normalteiler herausfinden kann. Insofern
> weiß ich nicht wie ich an Aufgabe 1,4 und 5 herangehe.
Wenn du eine $p$-Sylow-Untergruppe $U$ hast, so ist fuer jedes $g [mm] \in [/mm] G$ auch $g U [mm] g^{-1}$ [/mm] eine $p$-Sylow-Untergruppe. Und die Sylow-Saetze sagen weiterhin, dass du so jede $p$-Sylow-Untergruppe erhaelst.
Daraus folgt: Eine $p$-Sylow-Untergruppe ist genau dann ein Normalteiler, wenn sie die einzige $p$-Sylow-Untergruppe ist! (Und ueber die Anzahl von $p$-Sylow-Saetzen hast du ja Aussagen mit denen du was machen kannst bei den Aufgaben.)
Warum ist das so? Wenn du mehrere $p$-Sylow-Untergruppen hast, sagen wir $U$ und $V$ mit $U [mm] \neq [/mm] V$, so gibt es ein $g [mm] \in [/mm] G$ mit $g U [mm] g^{-1} [/mm] = V$, also insbesondere $g U [mm] g^{-1} \neq [/mm] U$. Aber damit ist $U$ kein Normalteiler.
Gibt es dagegen nur eine $p$-Sylow-Untergruppe $U$ und ist $g [mm] \in [/mm] G$, so ist $g U [mm] g^{-1}$ [/mm] ebenfalls eine $p$-Sylow-Untergruppe, womit $g U [mm] g^{-1} [/mm] = U$ sein muss. Folglich ist $U$ Normalteiler.
LG Felix
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