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| Aufgabe | Seien X und Y Mengen der Kardinalität jeweils |X|=n und |Y|=m. Die Menge aller Abbildungen von X nach Y wird üblicherweise mit dem Symbol [mm] Y^X [/mm] bezeichnet.
Wie groß ist die Kardinalität von [mm] Y^X? [/mm] Beweisen Sie ihre Behauptung durch vollständige Induktion. |
Wie die vollständige Induktion prinzipiell funktioniert weiß ich.
Also dass man eine Aussage erst für ein beliebiges Element (kleinstes Element im Definitionsbereich) beweist, und dann für n+1.
Aber wie ich das in diesem Fall machen soll, da hab ich keine Ahnung.
Ich kann doch auch über die Kardinalität nichts sagen, wenn ich nicht weiß, wie groß jeweils n und m sind?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:42 Fr 08.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. m beliebig. n=1
wenn du das nicht direkt willst n=1,m=1 dann n bleibt 1 m=m
schliesse auf m+1, dann hast du erst 1. erreicht..
2. deine Vermutung für n>1 (erprobt für dich, nicht im Beweis für n=2 und 3)
dann schliesse von n auf n+1
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Fr 08.11.2013 | | Autor: | Ymaoh |
Also:
n=1 und m=m würde dann bedeuten, ich kann n auf jedes m abbilden.
Also wäre [mm] |Y^X|=m
[/mm]
Ist n>1 gilt dann [mm] |Y^X| [/mm] > m ,weil ich Möglichkeiten "dazugewinne".
Hab mal gezeichnet für
n=2 und m=2 -> [mm] |Y^X| [/mm] = 4
/ n=3 und m=3 -> [mm] |Y^X| [/mm] = 9
ALso wäre jetzt meine Vermutung, dass ich m und n je für x und y einsetze und gilt
[mm] |Y^X| [/mm] = [mm] m^n
[/mm]
Aber wie kann ich da dann die Induktion anwenden zum Beweis?
Ich müsste dann ja sagen [mm] m^n+1 [/mm] = [mm] |Y^X| [/mm] mit |X|=n+1
aber dann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Fr 08.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Argument: X wird um 1 vergrüßert, wieviele neue Abbildungen kommen dazu ?
besser m fest n=2 wieviel neue Abb kommen dazu, dann n=3 wieviel mehr
und
dann du hattest n=2m=3 und 9 Abb das ist aber nicht [mm] 3^3!
[/mm]
also scheint deine Vermutung falsch.
Gruß leduart
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