Kanonisches Ensemble < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:49 Sa 09.05.2015 | | Autor: | lumor |
| Aufgabe | | Eine Feder mit der Federkonstante D befindet sich im Schwerefeld der Erde. An der Feder ist eine Masse m angebracht. Die Feder samt der Masse ist als ein Untersystem im Wärmebad mit der Temperatur T zu betrachten. Berechne die Wahrscheinlichkeitsdichte der Auslenkung x, der Masse m und daraus die ersten beiden Momente von x. |
Hallo! Mein erster Post hier. :)
Ich schreibe zunächst die potentielle Energie des Systems auf:
E(x) = - m g x + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] D (x - [mm] x_0)^2
[/mm]
Daraus berechne ich dann die kanonische Zustandssumme:
Z = [mm] \bruch{1}{h} \integral\integral{dx dp_x} e^{ -\beta E(x)}
[/mm]
mit [mm] \beta [/mm] = [mm] (k_B [/mm] T [mm] )^{-1}
[/mm]
Z = [mm] \bruch{1}{h} \integral_{0}^{\infty}{dx} \integral_{0}^{p_x}{dp_x} e^{ -\beta (\bruch{1}{2} D (x - x_0)^2 - m g x)}
[/mm]
Nun meine ersten beiden Fragen:
(1) Ich kann ein Integral dieser Form nicht lösen - habe ich schon bei der Aufstellung der Energie einen Fehler gemacht, oder ist das Integral lösbar ?
(2) Mir ist unklar weshalb ich einen Impuls in der Zustandssumme stehen habe, wo ich ja nur die potentielle Energie des Systems betrachte. Müsste ich den Term [mm] \bruch{p_x^2}{2m} [/mm] bei E mitnehmen?
Weiters würde ich dann die Warhscheinlichkeitsdichte über
[mm] \rho(x) [/mm] = [mm] \bruch{E(x)}{Z}
[/mm]
bestimmen, und daraus die ersten beiden Momente berechnen:
< x > = [mm] \integral_{0}^{\infty}{x \rho(x) dx}
[/mm]
[mm] [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{x^2 \rho(x) dx}
[/mm]
Wäre das soweit korrekt ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 12.05.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
