K(a) = K(a^2) Körpererw. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei L/K eine endliche Körpererweiterung, [mm] $a\in [/mm] L$ und $[K(a):K] = 2007$. Zeigen Sie, dass dann $K(a) = [mm] K(a^2)$ [/mm] gilt. |
Hallo!
Hier habe ich eine Idee zur Lösung, weiß aber nicht ob es richtig ist.
Da [mm] $a\in [/mm] L$ (und wenn [mm] $a\in [/mm] K$ ist auch [mm] $a^2 \in [/mm] K$ ), habe ich die Inklusionskette von Körpern:
L - K(a) - [mm] K(a^2) [/mm] - K
Es gilt $[K(a):K] = 2007$, was nicht durch 2 teilbar ist.
Nach der Gradformel ist außerdem:
$[K(a):K] = [mm] [K(a):K(a^2)]*[K(a^2):K]$
[/mm]
Da 2 nicht [K(a):K] teilt, darf 2 auch nicht [mm] $[K(a):K(a^2)]$ [/mm] teilen.
Wegen [mm] $[K(a):K(a^2)] \le [/mm] 2$ (Wurzelziehen, [mm] $X^2 [/mm] - [mm] a^2$ [/mm] wäre Mipo im Fall Grad = 2) folgt [mm] [K(a):K(a^2)] [/mm] = 1, also $K(a) = [mm] K(a^2)$.
[/mm]
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Di 15.03.2011 | | Autor: | statler |
> Sei L/K eine endliche Körpererweiterung, [mm]a\in L[/mm] und
> [mm][K(a):K] = 2007[/mm]. Zeigen Sie, dass dann [mm]K(a) = K(a^2)[/mm] gilt.
Mahlzeit!
> Hier habe ich eine Idee zur Lösung, weiß aber nicht ob es
> richtig ist.
>
> Da [mm]a\in L[/mm] (und wenn [mm]a\in K[/mm] ist auch [mm]a^2 \in K[/mm] ), habe ich
> die Inklusionskette von Körpern:
>
> L - K(a) - [mm]K(a^2)[/mm] - K
>
> Es gilt [mm][K(a):K] = 2007[/mm], was nicht durch 2 teilbar ist.
> Nach der Gradformel ist außerdem:
>
> [mm][K(a):K] = [K(a):K(a^2)]*[K(a^2):K][/mm]
>
> Da 2 nicht [K(a):K] teilt, darf 2 auch nicht [mm][K(a):K(a^2)][/mm]
> teilen.
> Wegen [mm][K(a):K(a^2)] \le 2[/mm] (Wurzelziehen, [mm]X^2 - a^2[/mm] wäre
> Mipo im Fall Grad = 2) folgt [mm][K(a):K(a^2)][/mm] = 1, also [mm]K(a) = K(a^2)[/mm].
Völlig OK
Dieter
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Hallo statler,
danke für's drüberschauen 
Stefan
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