K-lineare Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Zunächst einmal die Aufgabe:
Sei K ein Körper und [mm] \lamda\in\K, [/mm] seien U,V,W,X Vektorräume und f:U-->V, [mm] g,g_1,g_2:V-->W [/mm] und h:W-->X K-lineare Abbildungen. Man zeige:
[mm] i)h°(g_1+g_2)=h°g_1+h°g_2
[/mm]
[mm] ii)(g_1+g_2)°f=g_1°f+g_2°f
[/mm]
[mm] iii)\lamda(g°f)=(\lamda g)°f=g°(\lamda [/mm] f)
iv)h°(g°f)=(h°g)°f
Hallöchen!
Ich habe mich mal versucht die Aussagen zubeweisen und wollte nur wissen, ob man das so beweisen kann. Ansonsten würde ich mich über richtige Vorschläge freuen.
i) Voraussetzungen:
[mm] h,g_1,g_2 [/mm] sind lineare Abbildungen
d.h. [mm] h(w_1+w_2)=h(w_1)+h(w_2)
[/mm]
[mm] g_1,g_2:V--->W
[/mm]
Beweis:
setzte [mm] g_1=w_1 [/mm] und [mm] g_2=w_2.
[/mm]
==> [mm] h(g_1+g_2)=h(g_1)+h(g_2)
[/mm]
Bei den anderen wollte ich das dann so ähnlich machen.
Gruß Jenny
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Hallo Jenny,
ich glaube, du musst es mit Elementen aus der Menge zeigen.
Ich zeig dir mal wie es für ii) geht, da du dir schon zu i) gedanken gemacht hast, und ich denke, dann dürfte i) danach kein Problem mehr sein...
[ [mm] (g_{1} [/mm] + [mm] g_{2} [/mm] )°f] (u) = (Def. von °) [mm] (g_{1} [/mm] + [mm] g_{2} [/mm] )°f(u) = (Def. von °) [mm] (g_{1} [/mm] °f)(u) + [mm] (g_{2} [/mm] °f)(u) = (argumentenweiser Addition) [mm] (g_{1} [/mm] °f+ [mm] g_{2} [/mm] °f)(u)
[mm] \Rightarrow (g_{1} [/mm] + [mm] g_{2} [/mm] )°f = [mm] g_{1} [/mm] °f+ [mm] g_{2} [/mm] °f
Das blau geschriebene ist immer die Begründung, warum ich es so machen darf.
Ich hoffe dies hilft dir weiter.
Viele Grüße
Christin
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