www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Lineare Algebra" - Jordansche Normalform + Basis
Jordansche Normalform + Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Jordansche Normalform + Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:57 Mo 23.07.2007
Autor: celeste16

Aufgabe
(a) Man bestimme die Jordansche Normalform der Matrix
A [mm] =\pmat{ 3 & -3 & -4 \\ -1 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & -1 } [/mm]

(b) Man gebe eine dazugehörige Basis an.

hi, ich hab irgendwie ein totales problem die basis zu bestimmen. irgendwo hakts da bei mir im kopf und so habe ich nochmal ne alte aufgabe rausgesucht. ich hoffe ihr könnt mir sagen ob ich es diesmal richtig hinbekommen habe.

A [mm] =\pmat{ 3 & -3 & -4 \\ -1 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & -1 } [/mm]
[mm] M=(A-\lambdaE)=A =\pmat{ 3-\lambda & -3 & -4 \\ -1 & 3-\lambda & 2 \\ 1 & -2 & -1-\lambda } [/mm]
[mm] detM=(\lambda-1)(\lambda-2)^{2} [/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_{1}=1, \lambda_{2,3}=2 [/mm]
[mm] dimEig_{1}=1, dimEig_{2}=2 [/mm]
[mm] \Rightarrow J_{A}=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 } [/mm]

zur Basis:
[mm] Ab_{1}=b_{1} \Rightarrow (A-E)b_{1}=0 \Rightarrow b_{1}=\vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm]
[mm] (A-2E)b_{2}=0 \Rightarrow b_{2}=\vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm]
[mm] Ab_{3}=2b_{3}+b_{2} \Rightarrow (A-2E)b_{3}=\vektor{1 \\ -1 \\ 1} \Rightarrow b_{3}=\vektor{-1 \\ -2 \\ 1} [/mm]
[mm] B=\pmat{ 2 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 } [/mm]

so, ich vermute aber dass das wieder falsch ist. wäre nett wenn ihr mir sagen würdet (wenn es falsch ist) wo meine fehler anfangen




        
Bezug
Jordansche Normalform + Basis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:42 Mo 23.07.2007
Autor: twoways

Also die Eigenwerte sind korrekt.
Der erste Eigenvektor ist ebenfalls korrekt.

Ich denke, es ist korrekt, da die Determinate der Basis = -1 ist, sind die angegeben Vektoren lin. unab. - und im [mm] \IR^3 [/mm] ist die maximale Basis eben 3 lin. unab. Vektoren, die du gefunden hast.

Bezug
        
Bezug
Jordansche Normalform + Basis: Rechenfehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:15 Mo 23.07.2007
Autor: barsch

Hi,

ist B die Basis bezüglich derer die Matrix A Jordansche Normalform hat, dann gilt:

[mm] B^{-1}*A*B=J_A [/mm]

$ [mm] B=\pmat{ 2 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 } [/mm] $ [mm] \Rightarrow B^{-1}=\pmat{ -1 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & -4 \\ -1 & 1 & 2 } [/mm]

Wenn ich jetzt

[mm] B^{-1}*A*B=J_A [/mm] berechne, komme ich nicht auf die Jordannormaform.

Ich nehme an, der Fehler liegt hier:

> [mm] Ab_{3}=2b_{3}+b_{2} \Rightarrow (A-2E)b_{3}=\vektor{1 \\ -1 \\ 1} \Rightarrow b_{3}=\vektor{-1 \\ -2 \\ 1} [/mm]

[mm] (A-2E)*b_3=\pmat{ 3-2 & -3 & -4 \\ -1 & 3-2 & 2 \\ 1 & -2 & -1-2 }*b_3=\pmat{ 1 & -3 & -4 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -3 }*b_3=\vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] sind wir uns insoweit einig?

[mm] \gdw b_3=\vektor{1 \\ 0 \\ 0} \not=\vektor{-1 \\ -2 \\ 1} [/mm]

Definieren wir S als Basis bezüglich derer A Jordannormalform besitzt:

[mm] S:=\pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 }, [/mm] also [mm] S^{-1}=\pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -2 } [/mm]

[mm] S^{-1}*A*S=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 }=J_A. [/mm]

Du hast dich also nur verrechnet.

MfG

barsch

Bezug
                
Bezug
Jordansche Normalform + Basis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:19 Mo 23.07.2007
Autor: celeste16

ah danke. aber wenigstens bin cih mir bei der vorgehensweise sicherer!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]