Jordansche Normalform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Wilson |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Bestimmen Sie Jordan-Normalform J und zugehörige Transformationmatrix S für die angegebene Matrix A.
Soweit die Aufgabenstellung aus einer alten Klausur. Nun habe ich erstmal nicht wirklich Ahnung von der Jordanschen Normalform. Habe mich aber durch ein paar Hilfen durchgearbeitet und folgendes Ergebnis
char. Poly. : [mm] \lambda( \lambda [/mm] - 1)( [mm] \lambda [/mm] -1)( [mm] \lambda [/mm] -1) = 0
J:=
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
Zum Einen: Ist mein Ergebnis richtig?
Zum zweiten: Kann sich jemand denken, was mit der Transformationsmatrix S gemeint ist?
Vielen Danke für jeden der sich die Mühe macht mir zu helfen. DANKE!!!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
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> Bestimmen Sie Jordan-Normalform J und zugehörige
> Transformationmatrix S für die angegebene Matrix A.
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> Soweit die Aufgabenstellung aus einer alten Klausur. Nun
> habe ich erstmal nicht wirklich Ahnung von der Jordanschen
> Normalform. Habe mich aber durch ein paar Hilfen
> durchgearbeitet und folgendes Ergebnis
> char. Poly. : [mm]\lambda( \lambda[/mm] - 1)( [mm]\lambda[/mm] -1)( [mm]\lambda[/mm]
> -1) = 0
> J:=
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
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> Zum Einen: Ist mein Ergebnis richtig?
> Zum zweiten: Kann sich jemand denken, was mit der
> Transformationsmatrix S gemeint ist?
>
> Vielen Danke für jeden der sich die Mühe macht mir zu
> helfen. DANKE!!!
Hallo!
Das charakteristische Polynom ist richtig ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Was Du gemacht hast, um auf diese Jordannormalform zu kommen, ist mir reichlich schleierhaft!
Die Jordansche Normalform ist insbesondere eine Matrix, die zu der ursprünglichen ähnlich ist, d.h. es existiert eine Transformationsmatrix s, so daß [mm] J=s^{-1}as [/mm] ist.
Insbesondere ist es aber so, daß die Jordansche Normalform dieselbe Größe (also hier [mm] 4\times4) [/mm] hat, wie die Ausgangsmatrix.
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Wilson |
Hmm...ok, klingt logisch, dass mein Ergebniss Müll ist. Danke für deine schnelle Antwort.
Also als weitere Ergebniss habe ich zum EW1, die Eigenvektoren [mm] \vektor{1 \\ 0\\ 1\\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 1\\ 1\\ 0} [/mm]
Zum Eigenwert 0 habe ich keinen Eigenvektor.
Also habe ich für [mm] \lambda [/mm] = 0, die algebraische Vielfachheit 1 und die geometrische Vielfachheit 0
für [mm] \lambda [/mm] = 1, die algebraische Vielfachheit 3 und die geometrische Vielfachheit 2
Daraus müsste ich mir doch jetzt die tolle Normalform erstellen können, oder? Kann mir jemand jetzt vielleicht eine Schritt für Schritt Anleitung geben, wie das zu machen ist?
Und wieder ein Dankeschön an meinen Helfer!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Nam |
Hi Wilson,
> Also als weitere Ergebniss habe ich zum EW1, die
> Eigenvektoren [mm]\vektor{1 \\ 0\\ 1\\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{1 \\ 1\\ 1\\ 0}[/mm]
Ja, das stimmt soweit.
> Zum Eigenwert 0 habe ich keinen Eigenvektor.
Wenn du keinen Eigenvektor findest, kann 0 kein Eigenwert sein. Da musst du dich verrechnet haben. Die Dimension des Eigenraums A-0 ist 1. Es gibt definitiv einen Eigenvektor.
Regel: Die Dimension des Eigenraums zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm] ist die Anzahl der Jordan-Blöcke zu diesem Eigenwert. Folglich hast du zum Eigenwert [mm]\lambda=1[/mm] genau 2 Jordan Blöcke und zum Eigenwert [mm]\lambda=0[/mm] genau 1 Jordan Block.
Bei einer 4x4 Matrix bleibt deshalb nur eine(!) Möglichkeit:
[mm]\lambda=2[/mm]: 1 mal 2x2 Block und 1 mal 1x1 Block
[mm]\lambda=0[/mm]: 1 mal 1x1 Block
Also sieht die Jordan Matrix so aus:
[mm]J = \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
- Oben links erkennst du den 1x1 Block zum Eigenwert 0.
- dann der 2x2 Block zum Eigenwert 1
- dann der 1x1 Block zum Eigenwert 1
Wenn du jetzt noch die Transformationsmatrix S suchst, so dass [mm]J = S^{-1} * A * S[/mm] ist, dann musst du eine Basis finden, bzgl. der A die Matrix J hat. Die gefundenen Basisvektoren schreibst du in die Matrix S.
Der Algorithmus zur Bestimmung einer Jordan Basis ist nicht so ohne, da müsste ich etwas länger schreiben (und wäre immer noch nicht sicher, obs richtig ist  ). Was du erstmal tun musst, ist die Haupträume zu den einzelnen Eigenwerten auszurechnen. Dann musst du zu jedem Block die passenden Basisvektoren finden. Zu einem 1x1 Block einen, zu einem 2x2 Block 2.
1) man nehme einen Vektor [mm]v_1 \in Hauptraum(A-0) = Kern(A-0)[/mm]. Da es zum Eigenwert 0 nur einen 1x1 Block hat, ist dieser Block also komplett.
2) man nehme einen Vektor [mm]v_2 \in Hauptraum(A-1) = Kern((A-1)^2){\backslash}Kern(A-1)[/mm]. D. h. [mm](A-1)^2 * v_2 = 0[/mm] aber [mm](A-1) * v_2 \not= 0[/mm].
3) diesen Vektor bildest du mit A-1 ab:
[mm]v_3 = (A-1) * v_2 \in Kern(A-1)[/mm]
[mm]v_2, v_3[/mm] bildet jetzt die Basis des 2x2 Blocks zum Eigenwert 1.
4) du findest einen weiteren Vektor [mm]v_4 \in Kern(A-1)[/mm], der zu [mm]v_1,v_2,_v_3[/mm] linear unabhängig (wichtig!) ist. Dieser bildet die Basis des 1x1 Blocks zum Eigenwert 1.
Diese vier Vektoren bilden die gesuchte Basis und du kannst sie in die Matrix S schreiben.
Vielleicht kann ja noch jemand was dazu schreiben, ich weiß nicht, wie gut oder wie schlecht das erklärt war.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:06 Di 12.07.2005 | | Autor: | Wilson |
Danke Nam für die tolle Erkläarung. Habe die Jordanmatrix und die Transformationsmatrix jetzt aufstellen können. Ich hab das System soweit kapiert. Allerdings habe ich da noch zwei kleine Fragen zu:
1.) Wie kann ich auf die Größe eines Blocks schließen? In dem von mir genannten Beispiel ist das schon klar. Die geometrische Vielfachheit gibt mir die Anzahl der Blöcke zu einem bestimmten [mm] \lambda [/mm] und die algebraische Vielfachheit die Gesamtdimension aller Blöcke zu einem [mm] \lambda. [/mm] Aber bei größeren Matrizen könnte es doch z.B. den Fall geben, dass ein [mm] \lambda [/mm] die alg. Vielf. 6 und die geom. Vielf. 3 hat. Woher weiß ich, wie die Blöcke aussehen? Es könnte doch einen 4X4 Block und zwei 1x1 Blöcke geben oder auch einfach 3 2X2 Blöcke! Versteht ihr mein Problem?
2.)Geschieht die Anordnung in einem Block selbst nach einem bestimmten System? Konkret auf das Beispiel von Nam: kann man [mm] v_{2} [/mm] und [mm] v_{3} [/mm] beliebig anordnen oder muss [mm] v_{2} [/mm] vor [mm] v_{3}?
[/mm]
3.)Ein Frage zu einer weiteren Aufgabe:
[mm] \pmat{ 1 & -\wurzel{3} & 1 & 0\\ \wurzel{3} & 1 & 0 & 1 \\0 & 0 & 1 & -\wurzel{3}\\ 0 & 0 & \wurzel{3} & 1}
[/mm]
Auch hier soll J und Transformationsmatrix S bestimmt werden, allerdings im komplexen. Das habe ich auch soweit verstanden und hinbekommen. Allerdings war es doch etwas rechenarbeit und als Tipp steht in der Aufgabenstellung: "(beachten Sie die Gestalt!)".
Kann man das noch irgenwie verwenden?
4.) Sagt mir der Rang einer Matrix etwas über die Anzahl der Blöcke? Ich kann mich an eine 7x7 Nilpotenten Matrix erinnern mit Rang 4. Daraus wurde geschlossen, dass J 3 (7-4) Blöcke besitzt. Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Di 12.07.2005 | | Autor: | Jazzy |
Hi!
Stefan hat letztens dieses gepostet:
Die Anzahl der Jordanblöcke, deren Diagonale mit [mm] $\lambda$ [/mm] besetzt ist, und die mindestens die Größe $j$ haben, berechnet man mittels:
[mm] $Rang[(A-\lambda E_n)^{j-1}] [/mm] - [mm] Rang[(A-\lambda E_n)^j]$.
[/mm]
Insbesondere ist
$n -Rang[A- [mm] \lambda E_n] [/mm] = [mm] \dim( Kern[A-\lambda E_n])$
[/mm]
die Anzahl der Jordanblöcke überhaupt, deren Diagonale mit [mm] $\lambda$ [/mm] besetzt ist.
Die genaue Anzahl der Jordanblöcke der Größe $j$, deren Diagonale mit [mm] $\lambda$ [/mm] besetzt ist, ist dementsprechend gleich:
$Rang[(A- [mm] \lambda E_n)^{j+1}] [/mm] - 2Rang[(A- [mm] \lambda E_n)^{j}] [/mm] + Rang[(A- [mm] \lambda E_n)^{j-1}]$.
[/mm]
Du musst also Dimensionen von bestimmten sogenannten verallgemeinerten Eigenräumen ausrechnen und vergleichen.
Gruß,
Jazzy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 So 10.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Das wurde von Nam wirklich ganz ausgezeichnet erklärt. ![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]")
Ich möchte dir nur für komplizierte Beispiele noch ein paar Tipps geben.
Die Anzahl der Jordanblöcke, deren Diagonale mit [mm] $\lambda$ [/mm] besetzt ist, und die mindestens die Größe $j$ haben, berechnet man mittels:
[mm] $Rang[(A-\lambda E_n)^{j-1}] [/mm] - [mm] Rang[(A-\lambda E_n)^j]$.
[/mm]
Insbesondere ist
$n -Rang[A- [mm] \lambda E_n] [/mm] = [mm] \dim( Kern[A-\lambda E_n])$
[/mm]
die Anzahl der Jordanblöcke überhaupt, deren Diagonale mit [mm] $\lambda$ [/mm] besetzt ist.
Die genaue Anzahl der Jordanblöcke der Größe $j$, deren Diagonale mit [mm] $\lambda$ [/mm] besetzt ist, ist dementsprechend gleich:
$Rang[(A- [mm] \lambda E_n)^{j+1}] [/mm] - 2Rang[(A- [mm] \lambda E_n)^{j}] [/mm] + Rang[(A- [mm] \lambda E_n)^{j-1}]$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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