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Hallo,
ich hätte da eine Frage, bei der ich nicht so richtig weiterkomme:
Welche Matrizen können Jordansche Normalform für eine nilpotente 3x3 Matrix sein?
Bin für jeden Ansatz dankbar!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 So 17.06.2007 | | Autor: | kochmn |
Hallo Clarissa,
eine Matrix J ist nilpotent genau dann, wenn man ein [mm] n\in\IN [/mm] findet,
so dass [mm] J^n [/mm] = Z, mit Nullmatrix Z.
eine 3x3-Matrix J hat Jordanform, wenn sie sich aus Jordanblöcken
zusammensetzt, also eine der folgenden Gestalten hat:
[mm] \pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda },\pmat{ \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda },\pmat{ \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda },\pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda },
[/mm]
...
[mm] \pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & \nu }
[/mm]
Wobei die griechischen Buchstaben die Eigenwerte der Matrix darstellen.
Für Nilpotenz müssen diese Eigenwerte null sein. Es bleiben
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 },\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 },
[/mm]
Das müssten dann genau die Matrizen sein, die jordansche Normalform
einer nilpotenten 3x3-Matrix sind.
Multipliziere diese Matrizen mit sich selbst und sieh' zu, wie
die 1-en nach rechts und schließlich aus dem Zahlenfeld hinaus
wandern!
Liebe Grüße
Markus-Hermann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:04 Di 26.06.2007 | | Autor: | clarakami |
Hi,
ich hatte ganz vergessen, mich für deine absolut hilfreiche Antwort zu bedanken!!!! Sorry!
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