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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:06 So 09.05.2010 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | | Eine lineare Abbildung [mm] \alpha [/mm] habe das charakteristische Polynom [mm] (x-1)^7 [/mm] und das Minimalpolynom [mm] (x-1)^4. [/mm] Welche Jordannormalform kann [mm] \alpha [/mm] haben? |
Hey an alle,
habe mich mal kurz rangesetzt an die Aufgabe und war erstaunt, so schnell eine Lösung gefunden zu haben (jedenfalls der Glaube daran).
Kann mir mal bitte jemand sagen, ob es richtig ist? Wenn nicht, gebt mir bitte einen Tipp, wie ich das lösen kann.
Dankeschön im Voraus.
Lösung(?):
[mm] charpol(\alpha) [/mm] = [mm] (x-1)^7
[/mm]
[mm] minpol_{\alpha}(x) [/mm] = [mm] (x-1)^4
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] A_1:4 [/mm] x 4 mit [mm] m_{A_1} (x)=(x-1)^4
[/mm]
[mm] A_2:2 [/mm] x 2 mit [mm] m_{A_2} (x)=(x-1)^2
[/mm]
[mm] A_3:1 [/mm] x 1 mit [mm] m_{A_3} [/mm] (x)=(x-1)
[mm] \Rightarrow [/mm] kanonisch rationale Form:
[mm] A=\pmat{ 0&0&0&-1&0&0&0\\1&0&0&4&0&0&0\\0&1&0&-6&0&0&0\\0&0&1&4&0&0&0\\0&0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&1&2&0\\0&0&0&0&0&0&1 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Jordansche Normalform
[mm] A=\pmat{ 1&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0\\0&1&1&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&1&0\\0&0&0&0&0&0&1 }
[/mm]
Gruß
Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 So 09.05.2010 | | Autor: | nooschi |
> [mm]A=\pmat{ 1&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0\\0&1&1&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&1&0\\0&0&0&0&0&0&1 }[/mm]
meiner meinung nach geht auch folgendes:
[mm]A=\pmat{ 1&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0\\0&1&1&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&1&0\\0&0&0&0&0&1&1 }[/mm] und [mm]A=\pmat{ 1&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0\\0&1&1&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1 }[/mm]
(4 ist einfach der Nilpotenzindex des einzigen EW 1, also die Länge des grössten Jordanblockes, und 7 die Länge der ganzen Matrix. zudem können die Reihenfolgen der Blöcke noch anders sein. kann aber auch sein dass ich mich irre, habs grad nimma soo genau im kopf)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:11 So 09.05.2010 | | Autor: | Ultio |
wie haben gelernt bis auf Permutation der Blöcke eindeutig bestimmt.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:38 So 09.05.2010 | | Autor: | nooschi |
äh, soviel ich weiss nicht ganz korrekt: die Jordannormalform EINER MATRIX ist bis auf die Reihenfolge der Blöcke eindeutig bestimmt. Du hast aber weniger Angaben, nur das Minimal- und Charakteristische Polynom.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Mi 12.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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