Jordannormalform < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Mo 30.07.2007 | | Autor: | nadi_01 |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Jordannormalform der folgenden Matrix:
A= [mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 0 & 0 } [/mm] |
ich komme einfach nicht auf die richtige lösung dieser aufgabe.
Vor allem habe ich probleme damit die größe der "blöckchen" zu bestimmen.
die eigenwerte habe ich berechnet:
2 ist vierfacher eigenwert der matrix.
wie geht es jetzt weiter? ich bitte um möglichst schnelle hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Bestimmen sie die Jordannormalform der folgenden Matrix:
> A= [mm]\pmat{ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 0 & 0 }[/mm]
>
> ich komme einfach nicht auf die richtige lösung dieser
> aufgabe.
>
> Vor allem habe ich probleme damit die größe der "blöckchen"
> zu bestimmen.
> die eigenwerte habe ich berechnet:
> 2 ist vierfacher eigenwert der matrix.
>
> wie geht es jetzt weiter? ich bitte um möglichst schnelle
> hilfe
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du weißt ja nun schonmal, daß Du auf der Hauptdiagonalen viermal die 2 stehen hast.
Als nächstes mußt Du die Dimension des Eigenraumes berechnen. Diese liefert Dir die Anzahl der Jordankästchen, Deiner Blöckchen.
Nach diesem ![[]](/images/popup.gif) Kochrezept bereite ich die Jordannormalformen zu.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Mo 30.07.2007 | | Autor: | nadi_01 |
ich habe eine Lösung aber ich weiß nicht ob das so richtig ist?
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 }
[/mm]
stimmt das so oder iet das falsch, wenn ja warum?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Mo 30.07.2007 | | Autor: | nadi_01 |
> ich habe eine Lösung aber ich weiß nicht ob das so richtig
> ist?
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 }[/mm]
>
> stimmt das so oder iet das falsch, wenn ja warum?
(SORRY-bin neu hier) DAS WAR EINE FRAGE!!!
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> ich habe eine Lösung aber ich weiß nicht ob das so richtig
> ist?
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 }[/mm]
>
> stimmt das so oder iet das falsch, wenn ja warum?
Hallo,
ich habe es noch nicht nachgerechnet, aber ich würde die Frage auch lieber umdrehen:
es ist ja die Dimension des Eigenraumes =2.
Also kommen als JNF zwei Matrizen infrage,
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 } [/mm] und
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 }.
[/mm]
Wie bist Du auf die erste gekommen? Was hast Du hierfür gerechnet?
Gruß v. Angela
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Hallo,
ich habe eben mal gerechnet, und wenn ich mich nicht VERrechnet habe, stimmt Deine Lösung.
Wichtig ist, daß Du sie wirklich berechnet hast und nicht erraten, denn wie gesagt stehen ja zwei Matrizen als JNF zur Auswahl.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Di 31.07.2007 | | Autor: | nadi_01 |
die lösung habe ich von jemandem bekommen und wollte erstmal wissen ob sie richtig ist. aber ich weiß nicht warum das so ist. kannst du mir bitte erklären wie ich sehe welche form die matrix hat.
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> die lösung habe ich von jemandem bekommen und wollte
> erstmal wissen ob sie richtig ist. aber ich weiß nicht
> warum das so ist. kannst du mir bitte erklären wie ich sehe
> welche form die matrix hat.
Hallo,
hast Du Dir denn das Rezept für die JNF angeschaut?
Du mußt nun tun, was auf S.2 oben steht: die Dimension von [mm] Kern(A-2E)^2, Kern(A-2E)^3, Kern(A-2E)^4 [/mm] usw. bestimmen, bis Du zweimal hintereinander dieselbe Dimension hast. Die erste der beiden entsprechenden Hochzahlen ist wichtig: sie gibt Dir die Länge des längsten Jordankästchens zum gerade betrachteten Eigenwert an.
Auf Dein Beispiel bezogen:
Wenn Du z.B. bekämst
dimKern(A-2E)=2, [mm] dimKern(A-2E)^2=3 [/mm] und [mm] dimKern(A-2E)^3=3,
[/mm]
wüßtest Du, daß das längste Jordankästchen zum EW 2 die Länge 2 hat.
Bekämst Du
dimKern(A-2E)=2, [mm] dimKern(A-2E)^2=3, dimKern(A-2E)^3=4, dimKern(A-2E)^4=4,
[/mm]
hätte das längste Kästchen die Länge 3.
Rechne diese Kerne mal aus. (Falls Du ein andres Ergebnis bekommst als ich, sei nicht gleich irritiert. Präsentiere Deine Rechnung hier. Ich kann mich genauso verrechnen wie Du.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Mi 01.08.2007 | | Autor: | nadi_01 |
ich habe jetzt folgendes rausbekommen:
- dimker(A-2E)=2
- [mm] dimker(A-2E)^{2}=3 [/mm]
- [mm] dimker(A-2E)^{3}=4
[/mm]
- [mm] dimker(A-2E)^{4}=4
[/mm]
also hat das kästchen jetzt die länge 3!
die dimension des kerns habe ich dadurch berechnent dass ich den rang der matrizen ausgerechnet habe und den von 4 abgezogen.
(ist das richtig so?) also dimker(A)=4-rg(A)
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> ich habe jetzt folgendes rausbekommen:
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> - dimker(A-2E)=2
> - [mm]dimker(A-2E)^{2}=3[/mm]
> - [mm]dimker(A-2E)^{3}=4[/mm]
> - [mm]dimker(A-2E)^{4}=4[/mm]
>
> also hat das kästchen jetzt die länge 3!
>
> die dimension des kerns habe ich dadurch berechnent dass
> ich den rang der matrizen ausgerechnet habe und den von 4
> abgezogen.
> (ist das richtig so?) also dimker(A)=4-rg(A)
Hallo,
das klingt alles sehr richtig.
Gruß v. Angela
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