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Jordan'sche Normalform: Verständnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:46 Mi 15.06.2005
Autor: Reaper

Hallo...mir ist noch einiges von der Jordan
schen Normalform nicht klar....
Sei A =  [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 3 } [/mm]

Das charakteristische Polynom lautet [mm] (x-2)^{4} [/mm] , das minimale : [mm] (x-2)^{2} [/mm]
[mm] \lambda [/mm] = 2 hat die geometrische Vielfachheit 3.
Dass was jetzt kommt ist mir nicht klar:
A  [mm] \approx \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 } [/mm] oder A  [mm] \approx \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 } [/mm] oder A  [mm] \approx \pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 } [/mm]
Ich weiß dass es 3 Kästchen geben muss und die hier eben gezeigt werden...da die geometrische Vielfachheit 3 ist.....Aber wieso dürfen die Kästchen gerade nur einen 1er haben....Wieso sind die Blöcke also vom Format 2x2?

        
Bezug
Jordan'sche Normalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:38 Mi 15.06.2005
Autor: Julius

Hallo Reaper!

> Hallo...mir ist noch einiges von der Jordan
>  schen Normalform nicht klar....
>  Sei A =  [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 3 }[/mm]
>  
> Das charakteristische Polynom lautet [mm](x-2)^{4}[/mm] , das
> minimale : [mm](x-2)^{2}[/mm]
>   [mm]\lambda[/mm] = 2 hat die geometrische Vielfachheit 3.

[ok], das stimmt alles!

>  Dass was jetzt kommt ist mir nicht klar:
>  A  [mm]\approx \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 }[/mm]
> oder A  [mm]\approx \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 }[/mm]
> oder A  [mm]\approx \pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 }[/mm]

Die mittlere JNF stimmt nicht, sie sollte wohl

[mm]\approx \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 }[/mm]

lauten, oder?

> Ich weiß dass es 3 Kästchen geben muss und die hier eben
> gezeigt werden...da die geometrische Vielfachheit 3
> ist....

[ok], hey, du hast es ja wirklich gut verstanden bis hierhin! [daumenhoch]

> Aber wieso dürfen die Kästchen gerade nur einen 1er
> haben....Wieso sind die Blöcke also vom Format 2x2?

Naja, wie soll es denn anders gehen?

Haben wir zwei Blöcke vom Format $2 [mm] \times [/mm] 2$, dann bleibt kein Platz für einen dritten Block. Haben wir keinen Block mindestens vom Format $2 [mm] \times [/mm] 2$, also nur Einerblöcke, so haben wir zu wenig Einträge. Ebenso scheidet die Lösung mit einem $3 [mm] \times [/mm] 3$-Block (oder gar größeren Blöcken) aus, denn dann bliebe nur noch Platz für einen weiteren $1 [mm] \times [/mm] 1$-Block, also insgesamt nur für zwei Blöcke.

Mathematischer:

Die Zahl $4$ lässt sich nur in der Form

$4=1+1+2$ (und beliebigen Permutationen davon)

als Summe dreier natürlicher Zahlen schreiben. Daher brauchen wir auf jeden Fall zwei $1 [mm] \times [/mm] 1$-Blöcke und einen $2 [mm] \times [/mm] 2$-Block.

Viele Grüße
Julius


Bezug
                
Bezug
Jordan'sche Normalform: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:15 Mi 15.06.2005
Autor: Reaper

Hallo....danke für die Antwort.....habs verstanden
mfg,
Hannes

Bezug
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