Jordan Zerlegung von Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 Di 11.05.2010 | | Autor: | Aroa |
Hallo, ich bin ganz neu hier und entschuldige mich schonmal im Voraus, falls ich hier irgendwas falsch angewendet habe, denn ich muss mit diesem Forum wohl erst noch umgehen lernen.
Zu meiner Frage:
[mm] A:= \begin{pmatrix}
4 & 2 \\
\frac{3}{2} & 6
\end{pmatrix} [/mm]
Aufgabenstellung:
bestimmen Sie für diese Matrix die Jordan Zerlegung A=H+N in eine diagnoalisierbare Matrix H und eine nilpotente Matrix N mit HN=NH.
folgendes habe ich bisher gemacht:
Eigenwerte Berechnet: [mm]
det(A- \alpha *E)= \begin{pmatrix}
4-\alpha & 2 \\
\frac{3}{2} & 6-\alpha
\end{pmatrix} = (4- \alpha) (6- \alpha) -3= 24 -4\alpha -6\alpha + \alpha^2 -3= \alpha^2 - 10 \alpha +21 [/mm]
---> Eigenwerte: {3;7} (algebraische Vielfachheit ist jeweils 1)
Eigenvektoren hab ich bestimmt zum Eigenwert 3: [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
zum Eigenwert 7: [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm]
Und jetzt weiß ich nicht wirklich, wie ich weiter machen muss. (leider war ich länger krank und daher muss ich mir das grad alles selber nachholen)
In Wikipedia steht, dass ich eine Matrix Q brauche, die aus den Eigenvektoren spaltenweise besteht. Bedeutet das, dass ich die einfach spaltenweise nebeneinander schreibe?
Also quasi: [mm] Q=
\begin{pmatrix}
-2 & 2 \\
1 & 3
\end{pmatrix} [/mm]
und dann [mm] Q^-1*A*Q [/mm] rechne?
Das habe ich gemacht und rausbekommen: [mm] \begin{pmatrix}
3.75 & -0.75 \\
0.75 & 6.25
\end{pmatrix} [/mm]
Und falls das stimmt, was habe ich denn dann? Ist das dann diese gesuchte Diagnoalisierbare Matrix H, die ich brauche? Oder ist das wieder was anderes? Wenn ja, was ist das dann und wie komme ich auf die diagnoalisierbare Matrix H?
Und falls das der Fall ist, wie komme ich dann auf die nilpotente Matrix N?
Wahrscheinlich sind das alles total dumme Fragen, aber ich wäre wirklich dankbar für jede Hilfe.
Danke im Vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Aroa und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Hallo, ich bin ganz neu hier und entschuldige mich schonmal
> im Voraus, falls ich hier irgendwas falsch angewendet habe,
> denn ich muss mit diesem Forum wohl erst noch umgehen
> lernen.
>
> Zu meiner Frage:
>
> [mm]A:= \begin{pmatrix}
4 & 2 \\
\frac{3}{2} & 6
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Aufgabenstellung:
> bestimmen Sie für diese Matrix die Jordan Zerlegung A=H+N
> in eine diagnoalisierbare Matrix H und eine nilpotente
> Matrix N mit HN=NH.
>
> folgendes habe ich bisher gemacht:
>
> Eigenwerte Berechnet: [mm]
det(A- \alpha *E)= \begin{pmatrix}
4-\alpha & 2 \\
\frac{3}{2} & 6-\alpha
\end{pmatrix} = (4- \alpha) (6- \alpha) -3= 24 -4\alpha -6\alpha + \alpha^2 -3= \alpha^2 - 10 \alpha +21[/mm]
>
> ---> Eigenwerte: {3;7} (algebraische Vielfachheit ist
> jeweils 1)
>
> Eigenvektoren hab ich bestimmt zum Eigenwert 3:
> [mm]\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> zum Eigenwert 7: [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Alles richtig. Die gegebene Matrix ist gar diagonalisierbar!
>
> Und jetzt weiß ich nicht wirklich, wie ich weiter machen
> muss. (leider war ich länger krank und daher muss ich mir
> das grad alles selber nachholen)
> In Wikipedia steht, dass ich eine Matrix Q brauche, die
> aus den Eigenvektoren spaltenweise besteht. Bedeutet das,
> dass ich die einfach spaltenweise nebeneinander schreibe?
> Also quasi: [mm]Q=
\begin{pmatrix}
-2 & 2 \\
1 & 3
\end{pmatrix}[/mm]
>
> und dann [mm]Q^-1*A*Q[/mm] rechne?
>
> Das habe ich gemacht und rausbekommen: [mm] \begin{pmatrix}
3.75 & -0.75 \\
0.75 & 6.25
\end{pmatrix}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es muss [mm] $\pmat{3&0\\0&7}$ [/mm] herauskommen, du wirst dich irgendwo unterwegs verrechnet haben.
Da die Matrixmultiplikation assoziativ ist, also [mm] $Q^{-1}AQ=Q^{-1}(AQ)$, [/mm] rechne mal zuerst das einfachere Produkt in den Klammern aus.
>
> Und falls das stimmt, was habe ich denn dann? Ist das dann
> diese gesuchte Diagnoalisierbare Matrix H, die ich brauche?
> Oder ist das wieder was anderes? Wenn ja, was ist das dann
> und wie komme ich auf die diagnoalisierbare Matrix H?
> Und falls das der Fall ist, wie komme ich dann auf die
> nilpotente Matrix N?
Da die Matrix A diagonalisierbar ist, kannst du $H=A$ und $N=O$ (Nullmatrix) wählen ...
> Wahrscheinlich sind das alles total dumme Fragen, aber ich
> wäre wirklich dankbar für jede Hilfe.
>
> Danke im Vorraus.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Di 11.05.2010 | | Autor: | Aroa |
Hallo Schachuzipus,
vielen Dank für die Antwort.
Ich habe nun nochmal nachgerechnet, was die Multiplikation da angeht.
Das gleiche wie du habe ich immer noch nicht herausbekommen.
Ich werde es mal Schritt für Schritt aufschreiben, was ich gemacht habe, vielleicht bin ich betriebsblind und sehe meine Rechenfehler nicht mehr.
Um die Inverse von Q zu bekommen:
[mm]
\left( \begin{matrix}
-2 & 2 \\
1 & 3
\end{matrix} \qquad \begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix}
1 & -1 \\
1 & 3
\end{matrix} \qquad \begin{matrix}
-\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 1
\end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix}
1 & -1 \\
\frac{1}{3} & 1
\end{matrix} \qquad \begin{matrix}
-\frac{1}{2} & 0 \\
0 & \frac{1}{3}
\end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix}
1\frac{1}{3} & 0 \\
\frac{1}{3} & 1
\end{matrix} \qquad \begin{matrix}
-\frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\
0 & \frac{1}{3}
\end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix}
1 & 0 \\
\frac{1}{3} & 1
\end{matrix} \qquad \begin{matrix}
-\frac{3}{8} & \frac{1}{4} \\
0 & \frac{1}{3}
\end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{matrix} \qquad \begin{matrix}
-\frac{3}{8} & \frac{1}{4} \\
-\frac{1}{8} & \frac{1}{4}
\end{matrix} \right) [/mm]
Also ist [mm] Q^-1= \begin{pmatrix}
-\frac{3}{8} & \frac{1}{4} \\
-\frac{1}{8} & \frac{1}{4}
\end{pmatrix} [/mm]
Dann jetzt [mm] Q^-1*A*Q [/mm]
[mm]
\begin{pmatrix}
-\frac{3}{8} & \frac{1}{4} \\
-\frac{1}{8} & \frac{1}{4}
\end{pmatrix} * \begin{pmatrix}
4 & 2 \\
\frac{3}{2} & 6
\end{pmatrix} * \begin{pmatrix}
-2 & 2 \\
1 & 3
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-\frac{3}{8} & \frac{1}{4} \\
-\frac{1}{8} & \frac{1}{4}
\end{pmatrix} * \begin{pmatrix}
6 & 14 \\
3 & 21
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-1\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 3\frac{1}{2}
\end{pmatrix} [/mm]
Hm ja, das ist irgendwie immer noch nicht das gleiche, was du raus hattest. Aber zumindest diagonal ist es schonmal.. *denk*
Also ist meine Lösung dann einfach die Matrix A die ich schon hatte + N (die Nullmatrix)... Achso... Und das kommt daher, dass A Diagonalisierbar ist? Was passiert dann, wenn ich keine Diagonalmatrix rausbekomme?
[mm]
\begin{pmatrix}
4 & 2 \\
\frac{3}{2} & 6
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 & 2 \\
\frac{3}{2} & 6
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix} [/mm]
Darf ich noch eine anknüpfende Frage stellen?
Was passiert, wenn man bei jetzt zum Beispiel einer 2x2 Matrix nur einen Eigenwert bekommt (algebraische Vielfachheit von 2), aber die
(Matrix - Eigenwert * [mm] Einheitsmatrix)^2 [/mm] = 0
ergibt? Dann komme ich ja gar nicht an zwei Eigenvektoren. Was bedeutet das dann eigentlich auf Deutsch für meine Matrix und meine Vorgehensweise?
In meinem Angabenblatt steht auch die Bemerkung, dass wenn man nur einen einzigen Eigenwert herausbekommt, man H gleich ablesen könne. Aber ich weiß nicht warum und wie. Ich glaube mir fehlen da noch ein paar sehr elementare Zusammenhänge, die ich noch nicht durchblicke. (das hat man davon, wenn man 2 Wochen flach liegt... *grml*)
Falls du mir, oder irgendjemand anders mir da nochmal weiterhelfen könnte, wäre das super.
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> Hallo Schachuzipus,
> vielen Dank für die Antwort.
> Ich habe nun nochmal nachgerechnet, was die Multiplikation
> da angeht.
> Das gleiche wie du habe ich immer noch nicht
> herausbekommen.
> Ich werde es mal Schritt für Schritt aufschreiben, was
> ich gemacht habe, vielleicht bin ich betriebsblind und sehe
> meine Rechenfehler nicht mehr.
>
> Um die Inverse von Q zu bekommen:
>
> [mm]
\left( \begin{matrix}
-2 & 2 \\
1 & 3
\end{matrix} \qquad \begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix}
1 & -1 \\
1 & 3
\end{matrix} \qquad \begin{matrix}
-\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 1
\end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix}
1 & -1 \\
\frac{1}{3} & 1
\end{matrix} \qquad \begin{matrix}
-\frac{1}{2} & 0 \\
0 & \frac{1}{3}
\end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix}
1\frac{1}{3} & 0 \\
\frac{1}{3} & 1
\end{matrix} \qquad \begin{matrix}
-\frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\
0 & \frac{1}{3}
\end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix}
1 & 0 \\
\frac{1}{3} & 1
\end{matrix} \qquad \begin{matrix}
-\frac{3}{8} & \frac{1}{4} \\
0 & \frac{1}{3}
\end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{matrix} \qquad \begin{matrix}
-\frac{3}{8} & \frac{1}{4} \\
\red{+}\frac{1}{8} & \frac{1}{4}
\end{matrix} \right)[/mm]
Hallo,
.
Im letzten Schritt hast Du Dich verrechnet, das Rote + war zuvor ein -.
Schau Dir aber mal ein paar gerechnete Beispiele zum Gaußalgorithmus an,
bei Dir geht's nicht zügig genug vorwärts - und es ist ungewöhnlich (aber nicht verkehrt), mit der zweiten Spalte zu beginnen.
Bei mir sähe es so aus:
[mm] \left( \begin{matrix}
-2 & 2 \\
1 & 3
\end{matrix} \qquad \begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{matrix} \right)
[/mm]
-->
[mm] \left( \begin{matrix}
-2 & 2 \\
0 & 8
\end{matrix} \qquad \begin{matrix}
1 & 0 \\
1 & 2
\end{matrix} \right)
[/mm]
-->
[mm] \left( \begin{matrix}
-8 & 0 \\
0 & 8
\end{matrix} \qquad \begin{matrix}
3 & -2 \\
1 & 2
\end{matrix} \right)
[/mm]
-->
[mm] \left( \begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{matrix} \qquad \begin{matrix}
-3/8 & 1/4 \\
1/8 & 1/4
\end{matrix} \right)
[/mm]
>
> Also ist [mm]Q^-1= \begin{pmatrix}
-\frac{3}{8} & \frac{1}{4} \\
-\frac{1}{8} & \frac{1}{4}
\end{pmatrix} [/mm]
>
>
>
> Dann jetzt [mm]Q^-1*A*Q[/mm]
Genau.
>
> Also ist meine Lösung dann einfach die Matrix A die ich
> schon hatte + N (die Nullmatrix)... Achso... Und das kommt
> daher, dass A Diagonalisierbar ist? >
> [mm]
\begin{pmatrix}
-\frac{3}{8} & \frac{1}{4} \\
-\frac{1}{8} & \frac{1}{4}
\end{pmatrix} * \begin{pmatrix}
4 & 2 \\
\frac{3}{2} & 6
\end{pmatrix} * \begin{pmatrix}
-2 & 2 \\
1 & 3
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-\frac{3}{8} & \frac{1}{4} \\
-\frac{1}{8} & \frac{1}{4}
\end{pmatrix} * \begin{pmatrix}
6 & 14 \\
3 & 21
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-1\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 3\frac{1}{2}
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Hm ja, das ist irgendwie immer noch nicht das gleiche, was
> du raus hattest. Aber zumindest diagonal ist es schonmal..
> *denk*
Ja.
> Was passiert dann, wenn
> ich keine Diagonalmatrix rausbekomme?
Dann bringst Du die zu bearbeitende Matrix nach Möglichkeit auf Jordannormalform.
Wenn Du z.B. eine 2x2-Matrix mit dem doppelten Eigenwert 2 hast, bei der der Eigenraum nur die Dim 1 hat, dann ist die JNF der Matrix [mm] \pmat{2&1\\0&2}, [/mm] und es gibt eine Matrix Q mit [mm] A=Q^{-1}\pmat{2&1\\0&2}Q =Q^{-1}(\pmat{2&0\\0&2}+\pmat{0&1\\0&0})Q=Q^{-1}\pmat{2&0\\0&2}Q+Q^{-1}\pmat{0&1\\0&0})Q,
[/mm]
und diese beiden matrizen tun das, was Du Dir wünschst.
>
> [mm]
\begin{pmatrix}
4 & 2 \\
\frac{3}{2} & 6
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 & 2 \\
\frac{3}{2} & 6
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
Nee, erstmal Eigenwerte und JNF bestimmen. Diese matrix ist diagonalisierbar.
>
>
>
>
> Darf ich noch eine anknüpfende Frage stellen?
>
> Was passiert, wenn man bei jetzt zum Beispiel einer 2x2
> Matrix nur einen Eigenwert bekommt (algebraische
> Vielfachheit von 2), aber die
> (Matrix - Eigenwert * [mm]Einheitsmatrix)^2[/mm] = 0
> ergibt? Dann komme ich ja gar nicht an zwei Eigenvektoren.
> Was bedeutet das dann eigentlich auf Deutsch für meine
> Matrix und meine Vorgehensweise?
S.o.
>
> In meinem Angabenblatt steht auch die Bemerkung, dass wenn
> man nur einen einzigen Eigenwert herausbekommt, man H
> gleich ablesen könne
Ja, bei 2x2-matrizen ist das so: Eigenwert auf die Diagonale, oben rechts eine 1 und unten links eine 0.
> Ich glaube mir fehlen da noch ein paar sehr elementare
> Zusammenhänge, die ich noch nicht durchblicke. (das hat
> man davon, wenn man 2 Wochen flach liegt... *grml*)
Das zugehörige Thema ist die JNF.
Zumindest, wie man sie bestimmt, solltest Du bald nacharbeiten.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:11 Mi 12.05.2010 | | Autor: | Aroa |
Vielen lieben Dank, Angela,
deine Antwort hat mir wirklich sehr geholfen.
Mit den 2x2 Matrizen komme ich nun ohne größere Probleme zurecht.
Bei den größeren hapert es noch ein wenig. Aber das werd ich mir jetzt nochmal intensiv anschaun, dann bekomme ich das sicher auch noch hin.
Danke euch beiden für die Hilfe.
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