Jordan-Nullmenge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Sei M [mm] \subset \IR^{n} [/mm] eine beschränkte Menge mit endlich vielen Häufungspunkten. Dann ist M eine Jordan-Nullmenge. |
Hallo,
mit welchem Ansatz sollte man mit der Aufgabe starten? Ich habe mir bis jetzt grundlegende Begriffe (Definitionen) dazu angeschaut, und ein wenig
konnte ich die Situation verstehen.
Nach der Definition der Jordan-Nullmenge , muss zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] eine
endliche Anzahl von Rechtecken existieren , für die die beiden Bedingungen in der Definition erfüllt sind.
Man wähle ein beliebiges [mm] \varepsilon [/mm] , was dann automatisch die Anzahl der Rechtecke generiert , da die Anzahl der Rechtecke von [mm] \varepsilon [/mm] abhängt.
Jetzt ist die Frage , wie die Rechtecke sein sollen, damit die oben erwähnten Bedingungen erfüllt sind.
M soll dann irgendwie die Rechtecke generieren.
Zwei Eigenschaften von M haben wir : beschränkt und enthält endlich viele
Häufungspunkte.
Wie ich diese Eigenschaften benutzen soll, ist mir noch nicht so klar.
Was ich von der Beschränktheit der Menge M ableiten kann, dass
diam(M) < [mm] \infty [/mm] und M ist in einer abgeschlossenen Kugel enthalten ist.
Was kann man von der Eigenschaft " enthält endlich viele Häufungspunkte"
ableiten ? In unserem Skript stand : ein Element von M ist ein Häufungspunkt , falls in jeder Umgebung von dem Element mindestens ein Punkt von M existiert (ungefähr so).
Aus der Information konnte ich bis jetzt noch keinen Ansatz finden.
MfG
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Mi 01.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> In unserem Skript stand : ein Element von M ist
> ein Häufungspunkt , falls in jeder Umgebung von dem
> Element mindestens ein Punkt von M existiert
Das steht garantiert so nicht in eurem Skript ! Schau noch mal nach !
> (ungefähr so).
Mit "ungefähr so" kommst Du in der Mathematik nicht weit !
>
> Aus der Information konnte ich bis jetzt noch keinen
> Ansatz finden.
Das wundert mich nicht, wenn Du Dir nicht die Mühe machst, Definitionen und Begriffsbildungen nachzulesen, sondern mit falschen , ungefähren Wischi-waschi Begriffen zu arbeiten
FRED
>
>
> MfG
> Igor
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
es ging mir nicht darum , die Definition vollständig zu posten , sondern
ich gehe davon aus, dass Du die Definition kennst und "ungefähr " sollte als "Erinnerung" an die Definition dienen.
Natürlich kann ich die Definition anschauen, jedoch es war nicht meine Frage , was die Definition von einem Häufungspunkt ist.
Es tut mir leid, wenn Dich diese Erinnerung an die Definition gestört hat.
Wie gesagt, wenn Du ein erfahrener Mathematiker bist, dann weißt Du was ich gemeint habe. Das Problem liegt also nicht an der Definition(zumindest bei mir).
iIch könnte ja auch einfach "Häufungspunkt" schreiben, ohne nähere Erklärung dazu zu geben.Ich dachte Du wirst verstehen , was ich meine, weil Du die Definition vom Häufungspunkt kennst(ungefähr).
Mathematik ist eine "genaue " Wissenschaft., ja das stimmt. Jedoch man muss sich nicht immer "genau" ausdrücken, wenn das nicht nötig ist.
Ich denke: mich konnte man verstehen.
Was ich geschrieben habe, war richtig , da ich "ungefär so" schrieb.
Die Definition ist wirklich ungefähr so, weil der Unterschied nur ist , dass
der Punkt in der Umgebung von x verschieden von x sein soll.
Ich finde dein posting unnötig.( Du könntest es einfach ignorieren oder selbst die Definition nachschlagen ).
Ich kann ja nicht die Lage genau beschreiben, das würde viel zu viel sein .
Ich hoffte, dass man mich aber verstehen konnte.
Wo ist dein Problem?
Du hast das Hauptproblem bei der Frage nicht verstehen können. Irgendwie ist das Dir wichtig geworden, was die Definition vom Häufungspunkt ist.
Und dann mir dein posting als Antwort zu geben, finde ich wischi-waschi und unprofessionell. Du hättest, vielleicht spätestens nach Deiner Empörung einen Ansatz posten können. Ansonsten , sehe ich die Sache so, dass Dich das Hauptproblem bei der Frage nicht erreicht hat.
Ich habe nicht so viel Zeit mich über die formale (teilweise unnötige Sachen ) zu unterhalten.
Die Lösung zur Aufgabe soll bald abgegeben werden .
Ich habe also nach einem Ansatz gefragt und konnte mich verständlich ausdrücken ( jedoch ich bin kein Computer, der die Frage "punkt genau " formulieren soll, für wenig Erfahrene würde ich die Definition vollständig , ohne "ungefähr so" schreiben. Jedoch, in der ersten Linie wollte ich mit dem posting Helfer erreichen, die was von der Materie verstehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:59 Mi 01.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> es ging mir nicht darum , die Definition vollständig zu
> posten , sondern
> ich gehe davon aus, dass Du die Definition kennst und
> "ungefähr " sollte als "Erinnerung" an die Definition
> dienen.
> Natürlich kann ich die Definition anschauen, jedoch es
> war nicht meine Frage , was die Definition von einem
> Häufungspunkt ist.
> Es tut mir leid, wenn Dich diese Erinnerung an die
> Definition gestört hat.
> Wie gesagt, wenn Du ein erfahrener Mathematiker bist, dann
> weißt Du was ich gemeint habe.
Na klar, ich bin Hellseher. Wenn jemand sich falsch ausdrückt, weiß ich natürlich, dass er es richtig weiß und werde natürlich niemals unterstellen, dass er es vielleicht doch nicht richtig weiß
> Das Problem liegt also
> nicht an der Definition(zumindest bei mir).
> iIch könnte ja auch einfach "Häufungspunkt" schreiben,
> ohne nähere Erklärung dazu zu geben.Ich dachte Du wirst
> verstehen , was ich meine, weil Du die Definition vom
> Häufungspunkt kennst(ungefähr).
>
> Mathematik ist eine "genaue " Wissenschaft., ja das stimmt.
> Jedoch man muss sich nicht immer "genau" ausdrücken, wenn
> das nicht nötig ist.
Und wann das nötig ist entscheidest Du ?
> Ich denke: mich konnte man verstehen.
> Was ich geschrieben habe, war richtig , da ich "ungefär
> so" schrieb.
Dann ist auch die Aussage $3 = [mm] \pi$ [/mm] richtig, weil 3 so ungefähr = [mm] \pi [/mm] ist
> Die Definition ist wirklich ungefähr so, weil der
> Unterschied nur ist , dass
> der Punkt in der Umgebung von x verschieden von x sein
> soll.
Der Unterschied ist aber gewaltig !
>
> Ich finde dein posting unnötig.( Du könntest es einfach
> ignorieren
> oder selbst die Definition nachschlagen ).
Glaub mir (auch wenns schwerfällt), das brauche ich nicht
>
> Ich kann ja nicht die Lage genau beschreiben, das würde
> viel zu viel sein .
> Ich hoffte, dass man mich aber verstehen konnte.
>
> Wo ist dein Problem?
>
> Du hast das Hauptproblem bei der Frage nicht verstehen
> können. Irgendwie ist das Dir wichtig geworden, was die
> Definition vom Häufungspunkt ist.
> Und dann mir dein posting als Antwort zu geben, finde ich
> wischi-waschi und unprofessionell. Du hättest, vielleicht
> spätestens nach Deiner Empörung einen Ansatz posten
> können. Ansonsten , sehe ich die Sache so, dass Dich das
> Hauptproblem bei der Frage nicht erreicht hat.
>
> Ich habe nicht so viel Zeit mich über die formale
> (teilweise unnötige Sachen ) zu unterhalten.
> Die Lösung zur Aufgabe soll bald abgegeben werden .
> Ich habe also nach einem Ansatz gefragt und konnte mich
> verständlich ausdrücken ( jedoch ich bin kein Computer,
> der die Frage "punkt genau " formulieren soll, für wenig
> Erfahrene würde ich die Definition vollständig , ohne
> "ungefähr so" schreiben. Jedoch, in der ersten Linie
> wollte ich mit dem posting
> Helfer erreichen, die was von der Materie verstehen.
Dann bist Du bei mir ja goldrichtig !
FRED
>
>
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
auf den Punkt gebracht: ích weiß , was die Definition von einem Häufungspunkt ist und warum ich die Definition "kurz" oder "ungefähr so" schrieb, weil es einfach utopisch ist, jede Definition vollständig aufzuschreiben, da solche Definitionen im Internet leicht zu finden sind .
Wenn ich mein erstes posting nicht geschrieben hätte, sondern verbal sagen könnte, dann könnte ich mehr sagen als ,wenn ich das aufschreibe.
fast jedes posting im Matheraum ist wischi-waschi, da es immer an etwas zu meckern geben wird , sei es fehlende genauere Erklärung zu diesem oder jenem Thema.
Das wichtigste für mich war eigentlich nicht , was die Definition vom Häufungspunkt ist, sondern anzudeuten, bzw in Erinnerung zu bringen (vielleicht auch nur für mich), wie diese ungefähr war. Zum Zeitpunkt des posting , wusste ich was die Definition ist, jedoch wie gesagt: es ist schwieriger aufzuschreiben , als zu erzählen und meiner Meinung nach
habe ich das wichtigste gepostet; und die Frage war nach einem Ansatz , der auch kein "Buch" sein sollte, sondern ich erwartete abstrakte Schritte, die relativ klar und einfach zur Lösung der Aufgabe helfen sollten.
Vielleich am Anfang nur einen Schritt zeigen, aber einen, der weiterhelfen kann.
Und zum Schluss: ich verstehe, dass Dir etwas in meinem posting nicht gefallen hat. Meiner Meinung nach: das könntest Du schreiben , aber auch könntest Du was zu der Aufgabe sagen, denn die Definition vom Häufungspunkt sollte einen Doktor von Mathematik nicht wirklich in Schwierigkeiten bringen.
Wenn Du mich belehren wolltest, dass ich mich in dem posting genauer ausdrücken sollte, dann war das für mich nicht wirklich nötig(ich wusste was die Definition), denn ich weiß , dass die Definition nur "ungefähr so" war und ich denke , dass es nicht nötig war, dass das bei Dir Schwierigkeiten auslöst.
Ich nenne insgesamt das ganze Pingeligkeit, sonst nichts.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Do 02.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> auf den Punkt gebracht: ích weiß , was die Definition von
> einem Häufungspunkt ist und warum ich die Definition
> "kurz" oder "ungefähr so" schrieb, weil es einfach
> utopisch ist, jede Definition vollständig aufzuschreiben,
> da solche Definitionen im Internet leicht zu finden sind .
Das ist kein Grund, sie falsch aufzuschreiben.
> fast jedes posting im Matheraum ist wischi-waschi, da es
> immer an etwas zu meckern geben wird , sei es fehlende
> genauere Erklärung zu diesem oder jenem Thema.
Es gibt zwei sehr verschiedene Arten von wischi-waschi:
- Es gibt einmal Skizzen von Beweisen, die von Leuten aufgeschrieben werden die den Beweis verstanden haben, und die Teile weggelassen haben (die etwa der Fragesteller selbst ausfuellen soll).
- Es gibt "Skizzen" von Beweisen, wo die Luecken Stellen sind die der Schreiber nicht kann / versteht und deswegen weglaesst.
Etwas wischi-waschi im ersteren Sinne ist normal, das Ausfuellen wirklich aller Luecken wuerde keine lesbaren Texte mehr produzieren. Beide Arten allerdings in einen Topf zu werfen sollte man nicht.
> Das wichtigste für mich war eigentlich nicht , was die
> Definition vom Häufungspunkt ist, sondern anzudeuten, bzw
> in Erinnerung zu bringen (vielleicht auch nur für mich),
> wie diese ungefähr war.
Wenn es "ungefaehr" richtig ist, dann ist es ja ok, aber "ungefaehr" falsche Definitionen sind halt falsch.
> Und zum Schluss: ich verstehe, dass Dir etwas in meinem
> posting nicht gefallen hat. Meiner Meinung nach: das
> könntest Du schreiben , aber auch könntest Du was zu der
> Aufgabe sagen, denn die Definition vom Häufungspunkt
> sollte einen Doktor von Mathematik nicht wirklich in
> Schwierigkeiten bringen.
Glaub mir: Fred kennt die Definition sehr wohl. Er war allerdings offenbar nach Lektuere deiner Frage der Meinung, dass du sie nicht kennst (das haette ich genauso gesehen). Er haette da vielleicht ewas freundlicher drauf hinweisen koennen, aber die Kritik ist berechtigt. Wenn du hier oefter versuchst Fragen zu beantwortest (wie z.B. Fred oder ich) wirst du schnell feststellen, dass vielen Fragestellern die Definitionen oftmals nicht bewusst sind, insbesondere wenn sie eine falsche, ungenaue Version davon mit in die Frage schreiben.
> Ich nenne insgesamt das ganze Pingeligkeit, sonst nichts.
Das, was du hier als Pingeligkeit bezeichnest, ist ein sehr wichtiger Teil der Mathematik. Es gab auch mal eine Zeit, da wurde in der Mathematik locker drauf losgeschwafelt wenn es ums "Beweisen" ging. Je nachdem wie gut die Leute waren kamen trotzdem richtige und gute Resultate heraus, aber auch viel Muell der schneller aufgefallen waer, wenn es damals schon den heute vorhandenen Formalismus gegeben haette.
Insofern: es ist wichtig, sich in der Mathematik exakt auszudruecken und (allerhoechstens!) wischi-waschi der ersten Art (siehe oben) zu verwenden. Da du Mathematik auf Diplom studierst solltest du dir das auch angewoehnen.
LG Felix
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Mal zurück zum Thema (BTW: für jemand, der unter Zeitdruck steht, verwendest du ziemlich viel Zeit mit lamentieren, oder?).
Endlich viele Häufungspunkte: d.h. es gibt um jeden HP eine Umgebung, in der kein anderer HP liegt (warum?).
Alle Punkte von M, die nicht in der Vereinigung dieser Umgebungen liegen sind isoliert, also Nullmengen (warum?).
Jetzt muss man sich also um die einzelnen HP kümmern: Die Punkte aus M, die noch in der Umgebung liegen, sind alles keine HP. D.h du kannst kein kleines Rechteck um den HP finden, in dem nur Punkte aus M liegen (warum?). Das sollte es gewesen sein.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:25 Do 02.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo generation...x,
ich versuche Antworten auf die Fragen "warum" zu geben.
Erstes "warum" : gäbe es keine solche Umgebung, dann gäbe es in jeder Umgebung vom HP einen anderen HP, also unendlich viele HP-te. Das würde widersprüchlich mit der Voraussetzung sein, dass M nur endlich
HP-te enthält.
Zweites "warum": Ein isolierter Punkt ist eine Jordan-Nullmenge , weil man einen Rechteck um diesen Punkt konstruieren kann , so dass für jedes [mm] \varepsilon [/mm] eine endliche Anzahl N [mm] \in \IN [/mm] von Rechtecken gibt : mit P:= ein isolierter Punkt P [mm] \subset [/mm] R (Rechteck) und
[mm] \summe_{i=1}^{N}|R_{i}|< \varepsilon [/mm] gilt.
Ein Rechteck ist ein Kreuzprodukt von kompakten Intervallen
[mm] I_{1},...,I_{n}. [/mm] Man wähle für ein festes aber beliebiges [mm] \varepsilon [/mm] ein solches Rechteck , so dass {P} [mm] \subset [/mm] R und
und das n-dimensionale Volumen von R < [mm] \varepsilon [/mm] ist.
Ich denke, dass das intuitiv klar , dass man sowas konstruieren kann.
Um einen Punkt kann man halt beliebig kleine Überdeckung finden. Bei den Intervallen aus denen das Rechteck besteht, kann man die jeweilige Länge so klein wie nötig bzgl [mm] \varepsilon [/mm] anpassen.
Ich weiß jedoch nicht, ob das als Argumentation reicht und , ob das auch korrekt ist.
Beim dritten "warum" habe ich nicht ganz verstanden, wie die Situation gegeben ist. Du schreibst, dass man kein Rechteck um HP finden kann, indem nur Punkte aus M sind. Eigentlich dachte ich , dass in der Umgebung vom HP nur Punkte aus M liegen und ein Rechteck habe ich mir wie eine Umgebung von HP vorgestellt. Warum kann man kein kleines Rechteck finden, indem nur Punkte aus M liegen?
Ich habe noch paar Fragen :
Ist die Menge der isolierten Punkte endlich oder unendlich ? ( diese Frage habe ich mir gestellt, weil , wenn die Menge endlich ist, dann ist sie
Jordan-Nullmenge ( weil endliche Mengen Jordan-Nullmengen sind).
Falls ich korrekt auf das erste bzw. zweite "warum " geantwortet habe und das dritte "warum" noch zu beantworten ist, wie kann ich daraus
schließen , dass M eine Jordan-Nullmenge ist ( kann sein , dass mit einer Antwort auf drittes "warum" die Antwort leichter darauf fallen wird)
MfG
Igor
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Do 02.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> ich versuche Antworten auf die Fragen "warum" zu geben.
> Erstes "warum" : gäbe es keine solche Umgebung, dann
> gäbe es in jeder Umgebung vom HP einen anderen HP, also
> unendlich viele HP-te. Das würde widersprüchlich mit der
> Voraussetzung sein, dass M nur endlich
> HP-te enthält.
Genau.
> Zweites "warum": Ein isolierter Punkt ist eine
> Jordan-Nullmenge , weil man einen Rechteck um diesen Punkt
> konstruieren kann , so dass für jedes [mm]\varepsilon[/mm] eine
> endliche Anzahl N [mm]\in \IN[/mm] von Rechtecken gibt : mit P:=
> ein isolierter Punkt P [mm]\subset[/mm] R (Rechteck) und
Entweder ist $P$ die Menge, die nur den isolierten Punkt enthaelt, oder du solltest $P [mm] \in \dots$ [/mm] schreiben.
> [mm]\summe_{i=1}^{N}|R_{i}|< \varepsilon[/mm] gilt.
Du meinst eher Produkt? Du willst doch das Volumen des Rechtecks haben?
> Ein Rechteck ist ein Kreuzprodukt von kompakten
> Intervallen
> [mm]I_{1},...,I_{n}.[/mm] Man wähle für ein festes aber beliebiges
> [mm]\varepsilon[/mm] ein solches Rechteck , so dass {P} [mm]\subset[/mm] R
> und
> und das n-dimensionale Volumen von R < [mm]\varepsilon[/mm] ist.
> Ich denke, dass das intuitiv klar , dass man sowas
> konstruieren kann.
Ja.
> Um einen Punkt kann man halt beliebig kleine Überdeckung
> finden. Bei den Intervallen aus denen das Rechteck besteht,
> kann man die jeweilige Länge so klein wie nötig bzgl
> [mm]\varepsilon[/mm] anpassen.
Ja.
> Ich weiß jedoch nicht, ob das als Argumentation reicht
> und , ob das auch korrekt ist.
Du hast im Prinzip dreimal das gleiche gesagt. Im wesentlichen ist deine Argumentation korrekt.
> Beim dritten "warum" habe ich nicht ganz verstanden, wie
> die Situation gegeben ist. Du schreibst, dass man kein
> Rechteck um HP finden kann, indem nur Punkte aus M sind.
Was genau er damit meint weiss ich auch nicht. Allerdings wird es wohl in eine aehnliche Richtung gehen wie folgendes:
Wenn du jeden Haeufungspunkt mit einer Umgebung ueberdeckst, kann es dann ausserhalb der Vereinigung dieser Umgebungen noch unendlich viele Elemente von $M$ geben? (Die Antwort ist nein, die eigentliche Frage ist: warum ist den so? Dazu brauchst du, dass $M$ beschraenkt ist und dass die Menge der verbleibenden Punkte keine Haeufungspunkte hat.)
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Fr 03.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo felixf,
wenn man weiß , dass die Menge der isolierten Punkte Isol \ subset M beschränkt ist und keine Häufungpunkte enthält,wie kann man zeigen , dass sie nur aus endlich vielen Punkten besteht?
Ich habe mir zu der Situation Gedanken gemacht. Jedoch, ich konnte keinen vollständigen Beweis dazu finden.
z.B was kann ich von der Eigenschaft - diam(Isol) < [mm] \infty [/mm] - für die Endlichkeit der Anzahl von Punkten in Isol ableiten? ( ich habe versucht, die Beschränktheit durch diam(Isol)< [mm] \infty [/mm] zu beschreiben).
In einfachen Worten , heisst das , dass der maximale Abstand von zwei beliebigen Punkten kleiner als unendlich ist. Das würde vielleicht bedeuten, dass der Abstand eine Rolle für die Bestimmung der Anzahl der Punkte spielen wird. Jeder Punkt von Isol ist kein Häufungspunkt, also kann man eine Umgebung um diesen Punkt bilden, so dass in dieser kein anderer Punkt zu finden ist. Dann könnte man die Abstände zwischen den
Punkten / Umgebungen von diesen messen.
Ich weiß jedoch nicht, wie man dann weiter argumentieren soll, wenn das überhaupt der richtige Weg ist.
EDIT:
Der Bolzano-Weierstraß-Satz besagt, dass falls x eine Folge [mm] \IR^{n} [/mm] ist, dann besitzt x [mm] \IR^{n} [/mm] einen Häufungspunkt (HP) in [mm] \IR^{n}.
[/mm]
Wenn es möglich ist den Satz auch folgendermassen umzuschreiben:
Der Bolzano-Weierstraß-Satz besagt, dass falls x eine Folge Isol beschränkt ist, dann besitzt x einen HP in Isol;
dann könnte man folgern, dass falls x keinen HP besitzt, dann ist x nicht beschränkt ( wir wissen aber , dass jede Teilmenge von Isol beschränkt ist).
Also es bleibt übrig , dass x keine unendliche Folge sein kann - x ist also keine Folge , sondern x ist endliche Menge von Punkten in Isol.
Ich hoffe, dass Du meine Idee nachvollziehen kannst . ( Ob meine Argumentation schlüßig ist, bin mir nicht sicher)
MfG
Igor
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:52 Sa 04.07.2009 | | Autor: | SEcki |
> EDIT:
>
> Der Bolzano-Weierstraß-Satz besagt, dass falls x eine
> Folge [mm]\IR^{n}[/mm] ist, dann besitzt x [mm]\IR^{n}[/mm] einen
> Häufungspunkt (HP) in [mm]\IR^{n}.[/mm]
Ist das wieder eine deiner ungefähren Definitionen, wo wir die richtigen dann einsetzen sollen? Die Folge muss beschränkt sein dafür!
> dann könnte man folgern, dass falls x keinen HP besitzt,
> dann ist x nicht beschränkt ( wir wissen aber , dass jede
> Teilmenge von Isol beschränkt ist).
> Also es bleibt übrig , dass x keine unendliche Folge sein
> kann - x ist also keine Folge , sondern x ist endliche
> Menge von Punkten in Isol.
> Ich hoffe, dass Du meine Idee nachvollziehen kannst . ( Ob
> meine Argumentation schlüßig ist, bin mir nicht sicher)
Worüber läuft denn x? Nimmst du an, es gäbe in der Menge der isolierten Punkte, die alle außerhalb der von Felix genannten Umgebungen um die HP liegen, unendlich viele Punkte - dann findest du eine Teilfolge mit paarweise verschiedenen Elementen - und einem HP, der in jeder Umgebung unendlich viele paarweise verschiedene Elemente hat. Dieser HP kann aber keiner der ursprünglichen HPs sein (warum?) - Widerspruch.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 Sa 04.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
sorry, ich habe "beschränkt" vergessen ( aber nur vergessen , möglicherweise beim Editieren des Satzes) 
x= [mm] (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},...,) [/mm] eine Folge von Punkten in Isol.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Sa 04.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo SEcki,
Falls es unedlich viele isolierte Punkte geben würde, dann könnte man eine Folge finden, die einen Häufungspunkt hat. Solcher Häufungspunkt existiert jedoch nicht, da es solchen in der Menge Isol nicht gibt und die HP-te von M sind mit einer Folge von isolierten Punkten nicht "zu erreichen", da diese isolierten Punkte nicht mal in den früher definierten Umgebungen um den jeweiligen HP enthalten sind.
Wenn das so in Ordnung ist, dann ist Isol endlich und auch eine Jordan-Nullmenge.
Jetzt sind an der Reihe die HP-te mit ihren Umgebungen. Ich betrachte mal
einen beliebigen HP mit seiner Umgebung als eine eigenständige Menge A.
Diese Menge A ist kompakt , da sie beschränkt und abgeschlossen ist ( abgeschlossen, weil A alle ihre HP-te enthält).
Wenn ich jetzt zeigen könnte , dass A eine Lebesgue-Nullmenge ist, dann
wäre der Beweis fertig.
Wenn A abzählbar(!) unendlich viele Punkte enthält, dann könnte man abzählbar viele Rechtecke um die einzelnen Punkte finden. Dann wäre A überdeckt von der Vereinigung dieser Rechtecke und die Summe der n-dimensionalen Volumina (richtig? oder einfach Volumen ?) wäre beliebig klein.
Z.B eine Folge von Punkten in A ist abzählbar unendlich. In A gibt es vielleicht mehr als nur eine Folge . Die Vereinigung von abzählbaren Mengen ist auch abzählbar? Warum gibt es in A überhaupt keine überabzählbare Menge ?
MfG
Igor
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Sa 04.07.2009 | | Autor: | SEcki |
> Falls es unedlich viele isolierte Punkte geben würde, dann
> könnte man eine Folge finden, die einen Häufungspunkt
> hat. Solcher Häufungspunkt existiert jedoch nicht, da es
> solchen in der Menge Isol nicht gibt
Der muss gar nicht ein isolierte Punkt selber sein.
> und die HP-te von M
> sind mit einer Folge von isolierten Punkten nicht "zu
> erreichen",
Per se schon, denn genau das ist die Definition, aber ...
> da diese isolierten Punkte nicht mal in den
> früher definierten Umgebungen um den jeweiligen HP
> enthalten sind.
Das ist der Punkt - du musst mal die Mengen, die du hast, sauber auseinander halten! Ein neuer HP kann nicht gleich einem alten sein - und damit wäre es ein neuer HP der Menge, Widerspruch.
> Jetzt sind an der Reihe die HP-te mit ihren Umgebungen.
Du kannst bzw. darfst das nicht getrennt betrachten. Du musst erst kleine Rechtecke um die HP finden - und dann hast du noch endlich viele weitere Punkte nach obigen.
> Ich
> betrachte mal
> einen beliebigen HP mit seiner Umgebung als eine
> eigenständige Menge A.
> Diese Menge A ist kompakt , da sie beschränkt und
> abgeschlossen ist ( abgeschlossen, weil A alle ihre HP-te
> enthält).
Und wie hilft das? Wie hilft es, die Mengen getrennt zu betrachten? Die Mengen verändern sich, je nach dem, wie man die Umgebungen um die HP wählt, hat die Menge der isolierten Punkte außerhalb dieser Umgebungen unterschiedlich viele Elemente!
> Wenn ich jetzt zeigen könnte , dass A eine
> Lebesgue-Nullmenge ist, dann
> wäre der Beweis fertig.
Öhm. Nein, wieso das denn? Wir reden über Jordan-Nullmengen, oder? Das ist doch schwächer?! Schonmal die Definitionen nachgeschlagen?
> Wenn A abzählbar(!) unendlich viele Punkte enthält, dann
> könnte man abzählbar viele Rechtecke um die einzelnen
> Punkte finden. Dann wäre A überdeckt von der Vereinigung
> dieser Rechtecke und die Summe der n-dimensionalen Volumina
> (richtig? oder einfach Volumen ?) wäre beliebig klein.
> Z.B eine Folge von Punkten in A ist abzählbar unendlich.
> In A gibt es vielleicht mehr als nur eine Folge . Die
> Vereinigung von abzählbaren Mengen ist auch abzählbar?
Ja, und abzählbar viele Punkte sind abählbar ... aber dann wäre die Aufgabe viel leichter - die Menge der isolierten Punkte ist abzählbar - vereinigt mit endlich vielen HP haben wir dann eine abzählbare Menge, also L-Nullmenge. Und man braucht auch keine Beschränkheit mehr. Aber so wird das wohl bei dir nichts ... L-Nullemnge erwähsnt du um ersten mal hier.
> Warum gibt es in A überhaupt keine überabzählbare Menge
> ?
Tja, weil es was implizieren würde, was der Vorr. widerspricht.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Sa 04.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
warum ich L-Nullmenge erwähnte:
ich wusste nicht , wie ich zeigen kann, dass M/Isol eine Jordan-Nullmenge ist.
Jedoch, ich wollte versuchen zu zeigen, dass M/Isol eine kompakte L-Nullmenge ist, was die Existenz einer Jordan-Nullmenge impliziert.
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:58 Sa 04.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
ich bin jetzt ein bisschen verwirrt bzw . den Faden verloren.
Wie soll man also bei der Aufgabe vorgehen.
Es soll doch nicht so kompliziert sein.
Ich habe aber bis jetzt keinen Ansatz ( einen Ansatz , der klar Zwischenziele definiert).
Kann man vielleicht in wenigen Worten sagen, wie ich vorgehen soll?
Vielleicht so : angefangen von dem obersten Ziel - z.z: M ist Jordan-Nullmenge. Was ist das nächste Zwischenziel? Und so weiter...
Natürlich kann man nicht alles vorsagen, jedoch wichtigste Zwischenziele (als Kochrezept) wären sehr wünschenswert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Mo 06.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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