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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Di 22.12.2009 | | Autor: | lisab |
| Aufgabe | Es sei K ein Körper und A [mm] \in K^{6X6} [/mm] mit charakteristischem Polynom A = (X [mm] -a)^{4}(X-b)^{2} [/mm] für a, b [mm] \in [/mm] K mit a [mm] \not= [/mm] b. Bestimmen Sie alle möglichen Jordan-Normalformen von A (bis auf Reihenfolge der
Jordanblöcke) und geben Sie in allen Fällen das Minimalpolynom von A sowie die Dimensionen aller Eigenräume von A an. |
Hallo, ich weiß nicht wirklich wie man an einem Mipol und Charpol erkennen kann, wie die Jordanform aussieht und erst Recht nicht was man darüber über die Dimension der Eigenräumen aussagen kann. Ist dies immer eindeutig oder geht das nicht ab einer bestimmten Dimension schief?
Mein Ansatz war(mehr oder weniger geraten):
Ich gehe alle Mipol durch mit [mm] p:=(x-a)^i*(x-b)^j [/mm] , (i,j)€{1,..4}X{1,2}. Ist dieses Vorgehen sinnvoll??
ICh bekomme dann z.b.
(1,1) ==>diag(a,a,a,a,b,b) oder?
(1,2)==>(a,a,a,a,J(b)), wobei J der Jordanblock ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei K ein Körper und A [mm]\in K^{6X6}[/mm] mit
> charakteristischem Polynom A = (X [mm]-a)^{4}(X-b)^{2}[/mm] für a,
> b [mm]\in[/mm] K mit a [mm]\not=[/mm] b. Bestimmen Sie alle möglichen
> Jordan-Normalformen von A (bis auf Reihenfolge der
> Jordanblöcke) und geben Sie in allen Fällen das
> Minimalpolynom von A sowie die Dimensionen aller
> Eigenräume von A an.
> Hallo, ich weiß nicht wirklich wie man an einem Mipol und
> Charpol erkennen kann, wie die Jordanform aussieht
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Am charakteristischen Polynom kannst Du schonmal ablesen, wie die Diagonale deiner JNF aussehen wird: a,a,a,a,b,b
Damit kannst Du dann schonmal alle möglichen JNFen aufstellen.
Das Minimalpolynom hat die Gestalt [mm] \mu=(X-a)^r(X-b)^s [/mm] mit [mm] r\in \{1,2,3,4\}, s\in \{1,2\}.
[/mm]
Der Exponent ist gleich der Länge des längsten Jordankästchens im entsprechenden Jordanblock.
Die Dimension der Eigenräume ist gleich der Anzahl der Kästchen im entsprechenden Block.
Wenn Du nicht verstehst, was ich schreibe, kannst Du ja mal eine Deiner JNFen posten, daran kann ich Dir's vormachen.
> und erst
> Recht nicht was man darüber über die Dimension der
> Eigenräumen aussagen kann. Ist dies immer eindeutig oder
> geht das nicht ab einer bestimmten Dimension schief?
Es gibt u.U. mehrere Möglichkeiten fürs die JNF.
> Mein Ansatz war(mehr oder weniger geraten):
> Ich gehe alle Mipol durch mit [mm]p:=(x-a)^i*(x-b)^j[/mm] ,
> (i,j)€{1,..4}X{1,2}. Ist dieses Vorgehen sinnvoll??
So könnte man es auch machen.
> ICh bekomme dann z.b.
> (1,1) ==>diag(a,a,a,a,b,b) oder?
Ja, das wäre richtig.
> (1,2)==>(a,a,a,a,J(b)), wobei J der Jordanblock ist.
Wenn Du das meinst, was ich mir vorstelle, dann stimmt's.
Gruß v. Angela
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