Jordan-Normalform < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Do 14.01.2016 | | Autor: | Skyrula |
| Aufgabe | | Bestimme die Jordan Normalform von [mm] \pmat{ 5 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ -6 & -1 & -4 } \in M^{3x3}(\IR) [/mm] |
Hallo,
wie in der Aufgabe beschrieben soll ich die Jordan-Normalform berechnen.
Als erstes habe ich das charackteristische Polynom berechnet:
[mm] p_A(\lambda)=det(A-\lambda E)=-\lambda^3+3\lambda^2-4
[/mm]
Danach habe ich eine Linearfaktorzerlegung vorgenommen:
Für [mm] \lambda [/mm] =2 ist das Polynom=0, deshalb habe ich das Polynom durch [mm] (\lambda [/mm] -2) mittels Polynomdivision geteilt und komme auf [mm] -\lambda^2+\lambda+2
[/mm]
Anschließend habe ich die pq-Formel benutzt und bin auf [mm] \lambda_1=2 [/mm] und [mm] \lambda_2=-1 [/mm] gekommen.
Anhand dieser zwei werte soll ich wohl den Eigenwert ablesen können und die algebraische Vielfachheit der Eigenwerte direkt ablesen.
Mein Problem dabei ist, dass ich nicht weiß wie das geht und wie ich dann weitermachen muss um auf die Jordan-Normalform zu kommen.
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
Lieben Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Do 14.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme die Jordan Normalform von [mm]\pmat{ 5 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ -6 & -1 & -4 } \in M^{3x3}(\IR)[/mm]
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> Hallo,
>
> wie in der Aufgabe beschrieben soll ich die
> Jordan-Normalform berechnen.
>
> Als erstes habe ich das charackteristische Polynom
> berechnet:
> [mm]p_A(\lambda)=det(A-\lambda E)=-\lambda^3+3\lambda^2-4[/mm]
>
> Danach habe ich eine Linearfaktorzerlegung vorgenommen:
>
> Für [mm]\lambda[/mm] =2 ist das Polynom=0, deshalb habe ich das
> Polynom durch [mm](\lambda[/mm] -2) mittels Polynomdivision geteilt
> und komme auf [mm]-\lambda^2+\lambda+2[/mm]
>
> Anschließend habe ich die pq-Formel benutzt und bin auf
> [mm]\lambda_1=2[/mm] und [mm]\lambda_2=-1[/mm] gekommen.
>
> Anhand dieser zwei werte soll ich wohl den Eigenwert
> ablesen können und die algebraische Vielfachheit der
> Eigenwerte direkt ablesen.
Die Eigenwerte von A sind 2 und -1. 2 hat die alg. Vielfacheit 2 und -1 die alg. Vielfachheit 1.
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> Mein Problem dabei ist, dass ich nicht weiß wie das geht
> und wie ich dann weitermachen muss um auf die
> Jordan-Normalform zu kommen.
Da kann ich Dir das
http://www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf
ans Herz legen.
FRED
>
> Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
>
> Lieben Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Do 14.01.2016 | | Autor: | Skyrula |
Ist meine Jordan-Normalform auch wieder eine 3x3 Matrix?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Do 14.01.2016 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Ist meine Jordan-Normalform auch wieder eine 3x3 Matrix?
Ja!
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Do 14.01.2016 | | Autor: | Skyrula |
Also mit [mm] \lambda_1=2 [/mm] und [mm] \lambda_2=-1 [/mm] folgt:
[mm] A_{\lambda_1}=\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 } [/mm] und für [mm] A_{\lambda_2}=(-1)
[/mm]
Daraus ergibt sich die Jordan Normalform [mm] J=\pmat{ 2 & 1 & \\ 0 & 2 & \\ & & -1}
[/mm]
stimmt das?
Danke für die Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 Do 14.01.2016 | | Autor: | Skyrula |
Wäre echt klasse wenn nochmal jemand drüber schauen könnte.
Danke euch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:10 Do 14.01.2016 | | Autor: | statler |
> Wäre echt klasse wenn nochmal jemand drüber schauen
> könnte.
Hab ich gemacht!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Do 14.01.2016 | | Autor: | statler |
Ic glaub nicht, nach meiner Schnellrechnung gibt es 2 linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert 2. Dann ist die geometrische Vielfachheit dieses Eigenwertes 2 und die Matrix diagonalisierbar. Wie bist du auf deine Lösung gekommen?
Gruß Dieter
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