Jede Cauchyfolge konvergiert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:19 Mi 22.02.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | | Die Menge der reellen Zahlen ist vollständig, d.h Jede Cauchyfolge konvergiert. |
Skriptum
Bew.:
Sei [mm] (a_n) [/mm] eine Cauchyfolge reeller Zahlen. Da jede reelle Zahl beliebig gut durch rationale Zahlenapproximiert werden kann, existiert eine Folge [mm] (b_n) [/mm] rationaler Zahlen, sodass [mm] |a_n -b_n| [/mm] < 1/n.
Daraus folgt:
[mm] |b_m [/mm] - [mm] b_n| [/mm] = [mm] |b_m-a_m-b_n+a_n+a_m-a_n| \le [/mm] 1/m + 1/n + [mm] |a_m -a_n|
[/mm]
Die rechte Seite wird offensichtlich beliebig klein für m,n groß genug, Daher ist [mm] b_n [/mm] eine Cauchyfolge und es gibt a [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] a=lim_{n->\infty} b_n
[/mm]
> Ich hab herausgefunden, dass [mm] b_n [/mm] eine Cauchyfolge ist, aber wieso existiert dann sicher ein Grenzwert der Folge?
Weiters gilt:
[mm] |a_n [/mm] -a| = [mm] |a_n [/mm] - [mm] b_n [/mm] + [mm] b_n [/mm] -a| [mm] \le [/mm] 1/n + [mm] |b_n-a|
[/mm]
Soweit sonst klar!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:26 Mi 22.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Die Menge der reellen Zahlen ist vollständig, d.h Jede
> Cauchyfolge konvergiert.
> Skriptum
> Bew.:
> Sei [mm](a_n)[/mm] eine Cauchyfolge reeller Zahlen. Da jede reelle
> Zahl beliebig gut durch rationale Zahlenapproximiert werden
> kann, existiert eine Folge [mm](b_n)[/mm] rationaler Zahlen, sodass
> [mm]|a_n -b_n|[/mm] < 1/n.
> Daraus folgt:
> [mm]|b_m[/mm] - [mm]b_n|[/mm] = [mm]|b_m-a_m-b_n+a_n+a_m-a_n| \le[/mm] 1/m + 1/n +
> [mm]|a_m -a_n|[/mm]
> Die rechte Seite wird offensichtlich beliebig
> klein für m,n groß genug, Daher ist [mm]b_n[/mm] eine Cauchyfolge
> und es gibt a [mm]\in \IR[/mm] mit [mm]a=lim_{n->\infty} b_n[/mm]
> > Ich hab
> herausgefunden, dass [mm]b_n[/mm] eine Cauchyfolge ist, aber wieso
> existiert dann sicher ein Grenzwert der Folge?
Das frage ich mich auch ! Durchforste mal Dein Skriptum
FRED
> Weiters gilt:
> [mm]|a_n[/mm] -a| = [mm]|a_n[/mm] - [mm]b_n[/mm] + [mm]b_n[/mm] -a| [mm]\le[/mm] 1/n + [mm]|b_n-a|[/mm]
> Soweit sonst klar!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Mi 22.02.2012 | | Autor: | quasimo |
Ist das jetzt Sarkastisch? Ich werde nicht ganz schlau aus dem Kommentar.
> dass $ [mm] b_n [/mm] $ eine Cauchyfolge ist, aber wieso existiert dann sicher ein Grenzwert der Folge?
Definiert die Konvergenz einer Folge nicht gerade, dass es einen Grenzwert gibt? Aber der Satzt: Jede reelle Cauchyfolge konvergiert wollen wir ja erst beweisen und dürfen wir nicht anwenden.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Mi 22.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ist das jetzt Sarkastisch?
Nein.
> Ich werde nicht ganz schlau aus
> dem Kommentar.
Ich meinte das so, wie Du unten schreibst:
"Aber der Satzt: Jede reelle Cauchyfolge konvergiert wollen wir ja erst beweisen und dürfen wir nicht anwenden."
Aus diesem Grund werde ich eben auch nicht schlau aus dem Beweis in Deinem Skriptum.
FRED
>
> > dass [mm]b_n[/mm] eine Cauchyfolge ist, aber wieso existiert dann
> sicher ein Grenzwert der Folge?
> Definiert die Konvergenz einer Folge nicht gerade, dass es
> einen Grenzwert gibt? Aber der Satzt: Jede reelle
> Cauchyfolge konvergiert wollen wir ja erst beweisen und
> dürfen wir nicht anwenden.
>
>
> lg
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