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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 So 07.09.2008 | | Autor: | cares87 |
| Aufgabe | [mm] \Omega \subset \IR^{n}, f:\IR^{n}\to \IR^{n} [/mm] total diffbar in [mm] x\in \Omega. [/mm] Dann gilt:
i) f stetig in x
ii) f part. diffbar in x und [mm] Df(x)h=J_{f}(x)h [/mm] (Jakobi-Matrix)
[mm] J_{f}(x)=(\partial_{j}f_{i})=\pmat {\partial_{1}f_{1}&\ldots&\partial_{n}f_{1}\\ \vdots & \ddots &\vdots\\ \partial_{1}f_{m} & \ldots & \partial_{n}f_{m}}\in \IR^{m \times n} [/mm] |
Hallo,
so, den Beweis zu Teil i) habe ich verstanden, beim 2. habe ich allerdings ein paar Schwierigkeiten.
Sei [mm] A\in\IR^{m\times n} [/mm] mit [mm] D_{f(x)}=Ah, [/mm] r(h)=f(x+h)-f(x)-Ah und [mm] r_{i}(h)=f_{i}(x+h)-f_{i}(x)-\summe_{k=1}^{n}A_{i_{k}}h_{k}.
[/mm]
Wähle [mm] h=t_{l j}. [/mm]
Dann ist [mm] r_{i}(t_{l j}=f_{i}(x+t_{l j}-f_{i}(x)-a_{i j}t.
[/mm]
So, bis hierhin kann ich dem Beweis folgen!
Also [mm] \bruch{f_{i}(x-t_{l j}-f_{i}(x)}{t}=a_{i j}\bruch{r_{i}(t_{l j})}{t}. [/mm] Das ist ja einfach aus der Gleichung oben durch umformen entstanden. Jetzt haben wir 2 Gleichungen aufgeschrieben: [mm] |r_{i}(t_{l j})|\le||r(t_{l j})|| [/mm] und [mm] |t|\le||t_{l j}. [/mm] Warum die beiden Gleichungen gelten ist ja logisch, aber wir haben daraus gefolgert: [mm] a_{i j}=\partial_{j}f_{i}(x). [/mm] Wieso kann ich das folgern?
Danke, Caro
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> [mm]\Omega \subset \IR^{n}, f:\IR^{n}\to \IR^{n}[/mm] total diffbar
> in [mm]x\in \Omega.[/mm] Dann gilt:
> i) f stetig in x
> ii) f part. diffbar in x und [mm]Df(x)h=J_{f}(x)h[/mm]
> (Jakobi-Matrix)
> [mm]J_{f}(x)=(\partial_{j}f_{i})=\pmat {\partial_{1}f_{1}&\ldots&\partial_{n}f_{1}\\ \vdots & \ddots &\vdots\\ \partial_{1}f_{m} & \ldots & \partial_{n}f_{m}}\in \IR^{m \times n}[/mm]
>
> Hallo,
>
> so, den Beweis zu Teil i) habe ich verstanden, beim 2. habe
> ich allerdings ein paar Schwierigkeiten.
> Sei [mm]A\in\IR^{m\times n}[/mm] mit [mm]D_{f(x)}=Ah,[/mm]
> r(h)=f(x+h)-f(x)-Ah und
> [mm]r_{i}(h)=f_{i}(x+h)-f_{i}(x)-\summe_{k=1}^{n}A_{i_{k}}h_{k}.[/mm]
> Wähle [mm]h=t_{l j}.[/mm]
> Dann ist [mm]r_{i}(t_{l j})=f_{i}(x+t_{l j})-f_{i}(x)-a_{i j}t.[/mm]
oder nicht vielleicht vielmehr:
[mm]r_{i}(t_{l j})=f_{i}(x+t_{l j})-f_{i}(x)-a_{i j}t_{lj}?[/mm]
Die Beziehung von $t$ zu $h$ und [mm] $t_{lj}$ [/mm] ist mir aufgrund Deiner Erklärung nicht so recht klar geworden. Vielleicht ist diese Unklarheit auch der Grund für Deine eigene Unsicherheit mit den Details dieses Beweises...
>
> So, bis hierhin kann ich dem Beweis folgen!
> Also [mm]\bruch{f_{i}(x-t_{l j})-f_{i}(x)}{t}=a_{i j}\red{+}\bruch{r_{i}(t_{l j})}{t}.[/mm]
(ich habe mir erlaubt, hier ein [mm] $\red{+}$ [/mm] einzufügen)
> Das ist ja einfach aus der Gleichung oben durch umformen
> entstanden. Jetzt haben wir 2 Gleichungen aufgeschrieben:
> [mm]|r_{i}(t_{l j})|\le||r(t_{l j})||[/mm] und [mm]|t|\le|t_{l j}|[/mm].
> Warum die beiden Gleichungen gelten ist ja logisch,
Ist [mm] $|t|\le|t_{l j}|$ [/mm] wirklich "logisch"? Gilt nicht vielleicht sogar eher umgekehrt, [mm] |t|\ge|t_{l j}|?
[/mm]
> aber
> wir haben daraus gefolgert: [mm]a_{i j}=\partial_{j}f_{i}(x).[/mm]
> Wieso kann ich das folgern?
Vielleich weil, wegen der Voraussetzung der totalen Differenzierbarkeit, gilt [mm] $\left|\frac{r_i(t_{lj})}{t}\right|\leq \left|\frac{r(t)}{t}\right|\rightarrow [/mm] 0$, für [mm] $t\rightarrow [/mm] 0$? - Aber eben: was ist $t$ und welche Ungleichungen gelten nun genau?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Di 09.09.2008 | | Autor: | cares87 |
Hmm... ich kann dir halt leider nicht genau sagen, warum wir in dem Beweis [mm] h=t_{l j} [/mm] gesetzt haben.
Ich habe übrigens eine Tippfehler gemacht: die beiden Ungleichungen sollen heißen: [mm] |r_i(t_{l j})|\le||r(t_{l j})||_{\infty} [/mm] und [mm] |t|\le||t_{l j}||_{\infty}.
[/mm]
Ich weiß grad nicht, ob das was am Sacherhalt ändert...
lg
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Hallo Caro (ich denke, du bist die Caro, die ich kenne?),
du hast da vermutlich deine Schrift an einer Stelle nicht lesen können ;)
Wir haben [mm] $h=t\cdot e_j$ [/mm] gesetzt, wobei [mm] $e_j$ [/mm] der j-te kanonische Einheitsvektor ist.
Damit dürfte schon mal geklärt sein, wieso t und [mm] $te_j$ [/mm] separat vorkommen können.
Zu den Ungleichungen: [mm] $\|\cdot\|_\infty$ [/mm] ist ja die Maximumsnorm, d.h. wenn du dir [mm] $|r_i(te_j)|$ [/mm] anschaust, ist das logischerweise kleiner oder gleich dem betragsmäßig größten aller Einträge von [mm] $r(te_j)$, [/mm] also gerade [mm] $|r_i(te_j)|\leq\|r(te_j)\|_\infty$.
[/mm]
Analog folgt das auch für [mm] $|t|\leq\|te_j\|_\infty$, [/mm] da gilt sogar "=" (was man dann im Folgenden auch braucht).
Zu der Frage, wieso man daraus folgern kann, dass [mm] $a_{ij}=\partial_jf_i(x)$ [/mm] ist:
Wegen der totalen Differenzierbarkeit weiß man: [mm] $\frac{\|r(h)\|_\infty}{\|h\|_\infty}\to [/mm] 0$. Weiterhin gilt [mm] $\frac{|r_i(te_j)|}{|t|}\leq\frac{\|r(te_j)\|_\infty}{\|te_j\|_\infty}=\frac{\|r(h)\|_\infty}{\|h\|_\infty}\to [/mm] 0$. Damit hat man also die Begründung, weshalb die rechte Seite gegen [mm] $a_{ij}$ [/mm] geht, die linke Seite ist nach der Grenzwertbildung genau die partielle Ableitung.
LG
Johannes
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