Jacobimatrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Nofi |
| Aufgabe | Betrachten sie die Abbildung
[mm] \vektor{x*y \\ x+y^2} [/mm]
und bestimmen sie die Jacobimatrix von [mm] g(r,\varphi ) = f(r*cos(\varphi), r*sin(\varphi) [/mm] über die Kettenregel
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Also ich würde das ja so angehen dass ich in meinem Vektorfeld x und y dorch [mm] x= r cos(\varphi) , y= r*sin(\varphi) [/mm] ausdrücke und dann die Jacobimatrix bilde, jedoch seh ich da keine verwendung der Kettenregel :)
wie ist das gemeint?
danke für eure Antworten
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
die Kettenregel besagt:
D(f(g(x)))=Df(g(x))Dg(x),
damit kannst du die Aufgabe doch lösen?
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Nofi |
also bei mir im script steht :
[mm] J_g_o_f(x0) = J_g(f(x0))*J_f(x0)[/mm]
zur folge hätte ich also eine Matrizenmultiplikation
ist nun das [mm] J_g_o_f(x0) [/mm] das, was ich suche?
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Hund |
Genau!
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Nofi |
Nur mal zur Sicherheit :
ich erhalte nun :
[mm] [mm] J_f [/mm] = [mm] \pmat{ y & x \\ 1 & 2y }
[/mm]
[mm] J_g=\pmat{ cos(\varphi) & -r*sin(\varphi) \\ sin(\varphi) & r*cos(\varphi) }
[/mm]
Dann eben [mm] J_g [/mm] * [mm] J_f
[/mm]
: [mm] J_g_o_f [/mm] = [mm] \pmat{ y*cos(\varphi)-r*sin(\varphi) & x*cos(\varphi)-2y*r*sin(\varphi) \\ y*sin(\varphi)+r*cos(\varphi) & x*sin(\varphi)+2y*r*cos(\varphi) }
[/mm]
schaut komisch aus :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Mo 30.04.2007 | | Autor: | komduck |
Du suchst $ [mm] J_f_o_g [/mm] $ und nicht $ [mm] J_g_o_f [/mm] $
Dein $ [mm] J_f [/mm] $ und dein $ [mm] J_g [/mm] $ sieht richtig aus.
Du mußt die äußere Ableintung an der Stelle [mm] g(r,\varphi)
[/mm]
nehmen. D.h. x und y duch die entsprechenden Komponenten
von [mm] g(r,\varphi) [/mm] ersetzen.
Es ist etwas ungünstig die Funktion $ [mm] (r,\varphi) [/mm] -> [mm] (r\cdot{}cos(\varphi), r\cdot{}sin(\varphi)) [/mm] $
mit g zu bezeichen, weil der Name g schon die gesammte Funktion ist.
Nenn sie lieber h.
Dann ist g = f o h.
komduck
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Di 01.05.2007 | | Autor: | Nofi |
Mh also wenn ich das richtig sehe muss ich x und y in [mm] J_f [/mm] durch rcos und rsin ersetzen oder?
dann hätte ich :
[mm] J_f [/mm] = [mm] \pmat{ r*sin(\varphi) & r*cos(\varphi) \\ 1 & 2r*sin(\varphi) }
[/mm]
und daraus wprde dann [mm] J_f_o_g [/mm] folgen :
[mm] J_f_o_g [/mm] = [mm] \pmat{ r*sin(\varphi)*cos(\varphi) & -r*sin(\varphi) \\ r*sin(\varphi)*cos(\varphi) & 2r^2*sin(\varphi)*cos(\varphi) }
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Di 01.05.2007 | | Autor: | komduck |
Das stimmt nicht.
Du mußt ausrechnen:
$ [mm] \pmat{ r\cdot{}sin(\varphi) & r\cdot{}cos(\varphi) \\ 1 & 2r\cdot{}sin(\varphi) } \cdot{} \pmat{ cos(\varphi) & -r\cdot{}sin(\varphi) \\ sin(\varphi) & r\cdot{}cos(\varphi) } [/mm] $
komduck
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