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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Do 08.01.2009 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | Gegeben sei das LGS Ax = b , A [mm] \in R^{n \times n}, [/mm] b [mm] \in R^{n}
[/mm]
Sei A in L,R,D zerlegt mit A = L+R+D, untere Dreiecksmatrix L, obere R und Diagonalmatrix D.
Zeigen Sie mit Hilfe des Banach-Fixpunktsatzes:
Das Jacobi Verfahren konvergiert gegen die Lösung des LGS, falls die Iterationsmatrix T := [mm] D^{-1}(L+R) [/mm] das Zeilensummenkrit. erfüllt. |
Hi!
Also ich habe verstanden wo die Iterationsmatrix herkommt und was das Zeilensummenkriterium ist.
Ich habe mir überlegt, dass ich das JacobiVerfahren dann als Funktion
[mm] \phi(x) [/mm] = [mm] -D^{-1}(L+R)x+b [/mm] , x [mm] \in \mathbb R^{n} [/mm] interpretieren muss.
Aber auf welchem Intervall muss ich das jetzt betrachten? (auch um zu zeigen, dass es eine Selbstabbildung ist?)
Das mit der Kontraktion würde ich dann so angehen:
| [mm] \phi(x) [/mm] - [mm] \phi(y) [/mm] | = [mm] \dots [/mm] = [mm] -D^{-1}(L+R)[x-y]
[/mm]
Dann muss [mm] -D^{-1}(L+R) [/mm] < 1 gelten. Äquivalent zu L+R > - D.
Wie habe ich das jetzt zu verstehen, muss ich hier jetzt die unendlich-Norm verwenden oder so?
Danke für jede schnelle Hilfe! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:51 Fr 09.01.2009 | | Autor: | max3000 |
Hi.
Der Operator ist fast richtig.
Richtig müsste es lauten:
[mm] \Phi(x):=D^{-1}*b-D^{-1}(L+R)
[/mm]
Aber das ist ja egal, da der Teil mit b sich sowieso aufhebt.
Jetzt musst du natürlich Kontraktion zeigen und kommst auf
[mm] $\parallel D^{-1}(R+L)\parallel<1$
[/mm]
Die Norm dmusst du dir jetzt selber Konstruieren. Dazu sei nun mal
[mm] T:=D^{-1}(L+R)
[/mm]
Wie es weiter geht hab ich selber nicht verstanden, aber habs hier in meinem Hefter stehen ^^.
Mit Ähnlichkeitstransformation lässt sich T auf Jordannormalform bringen, also gibt es P, so dass
[mm] J=P^{-1}*T*P
[/mm]
Dann sei [mm] M=diag(1,\epsilon,...,\epsilon^{n-1}) [/mm] und man definiere
[mm] K=M^{-1}*T*M
[/mm]
Mit [mm] S:=(P*M)^{-1} [/mm] wird nun noch eine Vektornorm definiert:
[mm] $\parallel [/mm] x [mm] \parallel_S:=\parallel Sx\parallel_\infty$
[/mm]
und damit gilt:
[mm] $\parallel [/mm] Tx [mm] \parallel_S [/mm] = [mm] \parallel [/mm] STx [mm] \parallel_\infty [/mm] = [mm] \parallel STS^{-1}Sx\parallel_\infty$
[/mm]
[mm] $\le \parallel STS^{-1}\parallel_\infty \parallel [/mm] x [mm] \parallel_S [/mm] = [mm] \parallel [/mm] K [mm] \parallel_\infty \parallel [/mm] x [mm] \parallel_S$
[/mm]
[mm] $=max(|\lambda_k|+\epsilon) \parallel [/mm] x [mm] \parallel_S [/mm] = [mm] (\rho(T)+ \epsilon) \parallel [/mm] x [mm] \parallel_S$
[/mm]
Dabei ist [mm] \rho [/mm] der Spektralradius (Für beliebige Norm im [mm] \IR^n [/mm] gilt: [mm] $\parallel [/mm] C [mm] \parallel \ge \rho(C):=(\lambda_{max}(c^Tc))^{1/2}$
[/mm]
Jedenfalls gilt dann für
[mm] $\parallel [/mm] T [mm] \parallel_*:=\parallel M^{-1}P^{-1}TPD\parallel_\infty$ [/mm] und [mm] \epsilon [/mm] so wählbar, dass [mm] $\parallel [/mm] T [mm] \parallel_*<1$.
[/mm]
Wie gesagt, ich verstehs nicht wirklich.
Nur Hauptsache du hast erstmal etwas ;).
Ciao
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