Jacobi-/Hesse-Matrix, Gradient < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich versuche gerade Unterschiede&Gemeinsamkeiten zwischen
Jacobimatrix, Hesse-Matrix und Gradient
herauszufinden.
Zunächst haben ja alle etwas mit den partiellen Ableitungen einer Funktion zu tun:
Jacobi-Matrix:
Die Jacobi-Matrix einer differenzierbaren Funktion [mm] f\colon {\mathbb{R}^n} \to {\mathbb{R}^m} \,\! [/mm] ist die m [mm] \times [/mm] n-Matrix sämtlicher erster partieller Ableitungen.
[mm] $$D_f [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}$$ [/mm]
Hesse-Matrix:
Die Hesse-Matrix fasst die partiellen zweiten Ableitungen einer mehrdimensionalen Funktion f(x1,..xn), die in die reellen oder komplexen Zahlen abbildet, zusammen:
[mm] $$\operatorname{H}(f)=\operatorname{H}_f= \left(\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}\right)= \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_1}&\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n}\\[,5em] \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1}&\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1}&\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_n} \end{pmatrix}$$
[/mm]
Gradient:
Sei $f : D [mm] \to \R$ [/mm] in [mm] $\xi \in [/mm] D$ (nach allen [mm] $x_i$) [/mm] partiell diff'bar. Dann heisst der Vektor
$$grad(f) = [mm] \pmat{ \bruch{\partial f}{\partial x_1}(\xi) \\ \vdots \\ \bruch{\partial f}{\partial x_n}(\xi) }$$
[/mm]
Gradient von $f$ in [mm] $x_i$
[/mm]
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Dazu jetzt ein paar Fragen:
Bei der Jacobimatrix sind ja explizit Funktionen der Form
$f: [mm] \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^2$ [/mm] erlaubt. Also z.B.: $f(x,y,z) = [mm] \left ( \begin{array}{c} x^2 + y^2 + z \cdot \sin(x) \\ z^2 + z \cdot \sin(y) \end{array} \right [/mm] )$
Könnte man zu dieser Funktion auch eine Hesse-Matrix bestimmen?
Das Problem ist $f$ besteht ja quasi aus 2 Funktionen. In meiner Hesse-Definition wird aber immer nur eine Funktion partiell abgeleitet(2-fach).
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Ist für eine Funktion $f: [mm] \mathbb R^n \rightarrow \mathbb [/mm] R$ die Jacobimatrix gleich dem transponierten Gradienten
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 Di 01.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Hessematrix einer vektorwertigen fkt. [mm] F=(f_1(x1,..xn),f_2,..)gibt [/mm] es nicht. natuerlich kannst du die Hessematrix von [mm] f_1, f_2 [/mm] usw bilden, ich wuesste aber grade kein Bsp. wo die benutzt werden.
Gruss leduart
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