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Wir suchen hier im Moment einige kleine "Westentaschenbeispiele" fuer folgende 2 Probleme:
1. (generelles Beispiel zur Integration, schoen waere auch ein spezielles fuer das Ito Integral, bei der Standard Integration versagt): Eine Funktion $X$ die integrierbar ist, aber [mm] $X^2$ [/mm] ist nicht integrierbar.
2. Gegenbeispiel zur Monotonitaet des Ito-Integrals. Sei [mm] $X(t)\leq [/mm] Y(t)$ dann gilt nicht: [mm] $\int [/mm] X(t)dB(t) [mm] \leq \int [/mm] Y(t)dB(t)$ wobei $B(t)$ eine Brownsche Bewegung ist. Auf einem Intervall von 0 bis T.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Ancillius!
Weil mich die Aufgabe interessiert, antworte ich jetzt mal, auch wenn es durchaus sein kann, dass ich mich blamiere und Unsinn erzähle. 
> Wir suchen hier im Moment einige kleine
> "Westentaschenbeispiele" fuer folgende 2 Probleme:
>
> 1. (generelles Beispiel zur Integration, schoen waere auch
> ein spezielles fuer das Ito Integral, bei der Standard
> Integration versagt): Eine Funktion [mm]X[/mm] die integrierbar ist,
> aber [mm]X^2[/mm] ist nicht integrierbar.
Okay. Also bekanntlich existiert das Integral
[mm] $\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt{t}}\, [/mm] dt$.
Dagegen existiert meiner Ansicht nach das stochastische Integral
[mm] $\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt{t}}\, [/mm] dB(t)$
nicht (da [mm] $\int\limits_0^s \frac{1}{t}\, dt=+\infty$ [/mm] für alle $s>0$), wohl aber
[mm] $\int\limits_0^1 \frac{1}{t^{\frac{1}{4}}}\, [/mm] dB(t)$.
> 2. Gegenbeispiel zur Monotonitaet des Ito-Integrals. Sei
> [mm]X(t)\leq Y(t)[/mm] dann gilt nicht: [mm]\int X(t)dB(t) \leq \int Y(t)dB(t)[/mm]
> wobei [mm]B(t)[/mm] eine Brownsche Bewegung ist. Auf einem Intervall
> von 0 bis T.
Natürlich können die Gleichheiten sowieso jeweils nur $P$-fast sicher gelten.
Offenbar gilt ja:
[mm] $e^{B(s) - \frac{s}{2}} \le e^{B(s)}$.
[/mm]
Ich behaupte aber, dass i.A.
[mm] $\int\limits_t^T e^{B(s) - \frac{s}{s}} \, [/mm] dB(s) [mm] \not\le \int\limits_t^T e^{B(s)}\, [/mm] dB(s)$
gilt.
Nach Itô folgt:
$d [mm] \left(e^{B(s) - \frac{s}{2}}\right) [/mm] = [mm] e^{B(s)-\frac{s}{2}}dB(s) [/mm] - [mm] \frac{1}{2}e^{B(s)-\frac{s}{2}}ds [/mm] + [mm] \frac{1}{2}e^{B(s) - \frac{s}{2}}ds [/mm] = [mm] e^{B(s) - \frac{s}{2}}dB(s)$,
[/mm]
also:
[mm] $\int\limits_t^T e^{B(s)-\frac{s}{2}}dB(s) [/mm] = [mm] e^{B(T)-\frac{T}{2}} [/mm] - [mm] e^{B(t)-\frac{t}{2}}$
[/mm]
und
[mm] $de^{B(s)} [/mm] = [mm] e^{B(s)}dB(s) [/mm] + [mm] \frac{1}{2} e^{B(s)}ds$, [/mm]
also:
[mm] $\int\limits_t^T e^{B(s)}dB(s) [/mm] = [mm] e^{B(T)} [/mm] - [mm] e^{B(t)} [/mm] - [mm] \frac{1}{2} \int\limits_t^T e^{B(s)}\, [/mm] ds$.
Jetzt bin ich ja davon überzeugt, dass für eine nicht-triviale Menge von Pfaden
[mm] $\int\limits_t^T e^{B(s)}dB(s) [/mm] = [mm] e^{B(T)} [/mm] - [mm] e^{B(t)} [/mm] - [mm] \frac{1}{2} \int\limits_t^T e^{B(s)}\, [/mm] ds < [mm] e^{B(T)-\frac{T}{2}} [/mm] - [mm] e^{B(t)-\frac{t}{2}} [/mm] = [mm] \int\limits_t^T e^{B(s) - \frac{s}{s}} \, [/mm] dB(s) $
gilt. Schließlich hängt die rechte Seite nur vom Anfangs- und Endpunkt der Brownschen Bewegung ab und die linke Seite vom gesamten Pfad. Es wird nun sicherlich "genug" Pfade geben, so dass das pfadweise gebildete Riemann-Stieltjes-Intergral [mm] $\frac{1}{2} \int\limits_t^T e^{B(s)}\, [/mm] ds$ "sehr groß" wird (jedenfalls so groß, dass die linke Seite kleiner wird als die rechte Seite).
Ich kann nur beten, dass ich hier keinen Unsinn erzähle. Wäre peinlich genug... ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
Ich hoffe mal, dass jemand, der sich damit auskennt, dies hier Korrektur liest und mir gegebenenfalls sagt, wenn es falsch ist - schließlich will ich was lernen. 
Viele Grüße
Stefan
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