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Forum "Nichtlineare Gleichungen" - Iterierte des Newtonverfahrens
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Iterierte des Newtonverfahrens: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:03 So 04.09.2016
Autor: dudu93

Aufgabe
Ausgehend von [mm] (x_0, y_0)^T [/mm] = [mm] (1,1)^T [/mm] berechne man die erste Iterierte des Newton-Verfahrens für die Gleichung:

F = [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} x^2 + 2y^2 - 4 \\ 3x^2 + y^2 - 4 \end{pmatrix} [/mm]

wobei gilt: F (x,y) = 0

Hallo zusammen,

ich hänge bei dieser Aufgabe fest. Habe versucht mit der Iterationsvorschrift des Newtonverfahrens die Aufgabe zu lösen:

[mm] x_n_+_1 [/mm] = [mm] x_n [/mm] - [mm] \bruch{f(x_n)}{f'(x_n)} [/mm]

Da die Formel nur für eine Variable gilt, komme ich nicht voran. Wie gehe ich vor, wenn wie in diesem Fall zwei Variablen vorhanden sind?

Danke im Voraus.

        
Bezug
Iterierte des Newtonverfahrens: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:42 So 04.09.2016
Autor: fred97

Schau hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

unter "Das Newton-Verfahren im Mehrdimensionalen"

FRED

Bezug
                
Bezug
Iterierte des Newtonverfahrens: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:37 So 04.09.2016
Autor: dudu93

Habe jetzt die Jacobimatrix mit den partiellen Ableitungen aufgestellt:

J(x,y) =  [mm] \begin{bmatrix} \bruch{\partial f_1}{\partial x} & \bruch{\partial f_1}{\partial y} \\ \bruch{\partial f_2}{\partial x} & \bruch{\partial f_2}{\partial y} \end{bmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2x & 4y \\ 6x & 2y \end{pmatrix} [/mm]

mit delta x = [mm] x_1 [/mm] - [mm] x_0 [/mm]

bzw.

delta y = [mm] y_1 [/mm] - [mm] y_0 [/mm]

Die gegebenen Werte [mm] x_0 [/mm] und [mm] y_0 [/mm] habe ich in die Jacobimatrix eingesetzt, dann mit dem Vektor delta x bzw y multipliziert und gleichgesetzt mit [mm] -F(x_0, y_0). [/mm]
Komme trotzdem nicht auf das Ergebnis.

Rauskommen muss:

[mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} [/mm] =   [mm] \bruch{1}{10} \begin{pmatrix} 9 \\ 13 \end{pmatrix} [/mm]


Bezug
        
Bezug
Iterierte des Newtonverfahrens: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:05 So 04.09.2016
Autor: dudu93

Hat sich erledigt. Danke.

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