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Iterierte Integration: Dreieck im \IR_{2}
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 Fr 08.07.2005
Autor: SleepO

Halli Hallo,

Habe folgende Aufgabe und komme nicht weiter:

Es sei [mm] \Delta [/mm] das Dreieck im  [mm] \IR_{2} [/mm] mit den Eckpunkten (0,0), (2,0), (0,2).
Nun soll ich das Integral

[mm] \integral_{\Delta} {x^{2} sinxy d(x,y)} [/mm]     lösen.

Mir ist klar das die durch iteriete Integration gelöst wird aber habe irgendwo einen Fehler.
Wäre für Hilfe sehr dankbar...


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Iterierte Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:33 Fr 08.07.2005
Autor: Christian

Hallo.

Wir können dir hier leider nur schwer helfen, wenn Du uns nicht verrätst, wo dein Problem bei der Aufgabe liegt...
Als erstes mußt Du dir mal eine gescheite Parametrisierung des Dreiecks überlegen.
Wenn wir, sagen wir x im Intervall [0,2] laufen lassen, wo darf sich dann y bewegen?
Dein Ergebnis setzt Du dann in die Grenzen des Integrals ein und integrierst munter drauf los... wenn da noch ein Fehler sein sollte, können wir ja nochmal hier drüberkucken.

Ein Tip noch: Vielleicht ist es geschickter, y im Intervall [0,2] laufen zu lassen und die 2. Integrationsgrenzen in Abhängigkeit von y zu bestimmen...

Gruß,
Christian

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Iterierte Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:27 So 10.07.2005
Autor: SleepO

Also für 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 2 ist 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2

Das iteriete Integral lautet also:

   [mm] \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{2} (x^{2} [/mm] Sin(xy) dx ) dy

Richtig?
Und wie löse ich diese Integral am besten?

Danke schonmal.
Bezug
                        
Bezug
Iterierte Integration: Lösungsweg für Integral
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 So 10.07.2005
Autor: Loddar

Hallo SleepO,

[willkommenmr] !!


> [mm]\integral_{0}^{2} \integral_{0}^{2} (x^{2}[/mm] Sin(xy) dx ) dy
> Richtig?

[keineahnung] Also, mit den Grenzen, die Du angesetzt hast, bin ich mir nicht so ganz sicher ...
(Ich belasse daher diese Frage auf "teilweise beantwortet.)



> Und wie löse ich diese Integral am besten?

Du mußt dieses Doppelintegral von innen nach außen lösen:

[mm]\blue{\integral_{}^{}}\red{\integral_{}^{}{x^{2}*\sin(x*y) \ dx}} \ \blue{dy}[/mm]


Wir beginnen also mit dem "roten Integral" [mm]\red{\integral_{}^{}{x^{2}*\sin(x*y) \ dx}}[/mm]

Da wir hier zunächst nach der Variablen $x_$ (wegen [mm] $\red{dx}$) [/mm] integrieren, wird die andere Variable $y_$ als konstant angesehen.

Zum Lösen dieses Integrales mußt Du zwei-mal mit dem Verfahren der partiellen Integration vorgehen:

[mm] $\integral{u'*v \ dx} [/mm] \ = \ u*v - [mm] \integral{u*v' \ dx}$ [/mm]

mit: $u' \ = \ [mm] \sin(y*x)$ [/mm]  und  $v \ = \ [mm] x^2$ [/mm]


Gruß
Loddar

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Iterierte Integration: Hilfestellung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:17 Do 14.07.2005
Autor: QCO

Also deine Integrationsgrenzen sind leider falsch, denn sie bilden nicht dein Dreieck, sondern ein Quadrat.
Das siehst du auch relativ einfach, wenn du dir das mal in ein Koordinatensystem malst (oder denkst). Wenn x zwischen 0 und zwei ist, malen wir mal zwei Geraden x=0 und x=2 ein und schraffieren den Bereich dazwischen.
Dann soll noch y zwischen 0 und zwei sein. Wir malen wieder Geraden y=0 und y=2 und schraffieren wieder.
Mit deinen Grenzen würdest du jetzt also über das doppelt schraffierte Quadrat integrieren.

Wie Christian schon richtig gesagt hat, muss du eine Grenze in Abhängigkeit von der anderen Variablen ausdrücken.
Dabei hast du jetzt verschiede Möglichkeiten. Ich möchte dich jetzt erstmal auf die IMHO offensichtlichste "stoßen", bei der wir die y-Grenzen in Abhängigkeit von der Stelle x betrachten.

Wir betrachten erstmal die beiden Randpunkte:
1) x=0. Dort integrieren wir von 0 [mm] \le [/mm] y  [mm] \le [/mm] 2.
2) x=2. hier ist y=0, also integrieren wir von 0 bis 0.

Feststellung: die untere Grenze für y ist unabhängig von x immer =0.
Die obere Grenze ändert sich aber.

Wenn du dir jetzt einen allgemeinen x-Wert 0 [mm] \le x_{0} \le [/mm] 2 anschaust, müsstest du sehen, wie allgemein die obere Grenze für y lautet.
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