Isotonie für exp mit Basis a < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man beweise: Die Funktion [mm]exp_a:\mathbb{R} \rightarrow ]0,\infty[, x\mapsto a^x,[/mm] ist für [mm] a>1[/mm] streng monoton wachsend und für [mm] 0 |
Hallo,
also ich brauche etwas Hilfe. Wollte die Aufgabe mal als Vorbereitung für die bald kommende Klausur durchrechnen.
Wenn ich das richtig sehe, geht es um die Exponentialfunktion zur Basis a.
Also kann man doch so ansetzen:
[mm] exp_a(x)=a^x=exp(x\cdot ln a)[/mm]. So da hört es bei mir schon auf. Wenn ich mal den Teil ln(a) betrachte, ist ja klar, dass für ein [mm]a_1>1[/mm] ln(a) positiv ist. Damit würde für jedes darauffolgende [mm]a_2[/mm] ln(a) größer sein als bei [mm]a_1[/mm] und damit ergibt sich eine streng monoton wachsende Funktion. Entsprechend umgekehrt für die strenge Antitonie. Wie formalisiere ich das (falls es überhaupt richtig ist)?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Di 09.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> Man beweise: Die Funktion [mm]exp_a:\mathbb{R} \rightarrow ]0,\infty[, x\mapsto a^x,[/mm]
> ist für [mm]a>1[/mm] streng monoton wachsend und für [mm]0
> monoton fallend.
> [mm]exp_a(x)=a^x=exp(x\cdot ln a)[/mm]. So da hört es bei mir schon
> auf. Wenn ich mal den Teil ln(a) betrachte, ist ja klar,
> dass für ein [mm]a>1[/mm] ln(a) positiv ist.
Genau. Jetzt willst du zeigen, dass dann [mm] $x
Der zweite Fall geht genauso.
Gruß, Robert
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Okay danke. Habs mal so aufgeschrieben:
Für [mm]a>1[/mm]. Es gilt zu zeigen: [mm]x
Da [mm]ln\, a\underset{a>1}{>0}[/mm] folgt: [mm]x\cdot ln\, a
[mm]exp_{a}(x)=exp(x\cdot ln\, a)
Zweiter Fall dann analog.
Müsste passen oder?
Jetzt gibts noch so einen schönen zweiten Teil der Aufgabe:
Wenn das obige gilt, dann ist [mm]exp_a[/mm] in beiden Fällen eine Bijektion mit Umkehrfunktion [mm]log_{a}x=\frac{ln\, x}{ln\, a}[/mm].
Da bin ich jetzt wieder halb am Verzweifeln. Wie zeige ich für die beiden Fälle Injektivität und Surjektivität?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:18 Di 09.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> Okay danke. Habs mal so aufgeschrieben:
> Für [mm]a>1[/mm]. Es gilt zu zeigen: [mm]x
>
> Da [mm]ln\, a\underset{a>1}{>0}[/mm] folgt: [mm]x\cdot ln\, a
> Aufgrund der strengen Monotonie von exp folgt:
> [mm]exp_{a}(x)=exp(x\cdot ln\, a)
>
> Zweiter Fall dann analog.
> Müsste passen oder?
Ja.
> Jetzt gibts noch so einen schönen zweiten Teil der
> Aufgabe:
> Wenn das obige gilt, dann ist [mm]exp_a[/mm] in beiden Fällen eine
> Bijektion mit Umkehrfunktion [mm]log_{a}x=\frac{ln\, x}{ln\, a}[/mm].
>
> Da bin ich jetzt wieder halb am Verzweifeln. Wie zeige ich
> für die beiden Fälle Injektivität und Surjektivität?
Stetige Monotone Funktionen sind stets injektiv. Surjektiv werden sie natürlich nur, falls du die Zielmenge auf das Bild einschränkst, z.B. ist ja [mm] $\exp_2(x)>0$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IR$, [/mm] also nicht surjektiv als Funktion von [mm] $\IR\to\IR$.
[/mm]
Gruß, Robert
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> Stetige Monotone Funktionen sind stets injektiv. Surjektiv
> werden sie natürlich nur, falls du die Zielmenge auf das
> Bild einschränkst, z.B. ist ja [mm]\exp_2(x)>0[/mm] für alle
> [mm]x\in\IR[/mm], also nicht surjektiv als Funktion von [mm]\IR\to\IR[/mm].
>
> Gruß, Robert
Das mit der Injektivität sehe ich ein. Allerdings müsste ich dann ja noch die Stetigkeit der Funktion beweisen.
Mit der Surjektivität komme ich nicht weiter. Die Zielmenge ist ja [mm]]0,\infty[[/mm] also quasi [mm]\mathbb{R}_{+}\backslash\{0\}[/mm]. Wie schränke ich das auf das Bild ein, um dann zu einem Surjektivitätsbeweis zu kommen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 11.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 Di 09.12.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
du kannst auch einfach die Ableitung betrachten und zeigen, dass diese >0 bzw. <0 ist.
LG djmatey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 Di 09.12.2008 | | Autor: | T_sleeper |
> Hallo,
>
> du kannst auch einfach die Ableitung betrachten und zeigen,
> dass diese >0 bzw. <0 ist.
>
> LG djmatey
Diese Argumentation akzeptiert unser Prof leider nicht.
Gruß, tsleeper
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