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Forum "Funktionen" - Isotonie für exp mit Basis a
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Isotonie für exp mit Basis a: Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:31 Di 09.12.2008
Autor: T_sleeper

Aufgabe
Man beweise: Die Funktion [mm]exp_a:\mathbb{R} \rightarrow ]0,\infty[, x\mapsto a^x,[/mm] ist für [mm] a>1[/mm] streng monoton wachsend und für [mm] 0

Hallo,
also ich brauche etwas Hilfe. Wollte die Aufgabe mal als Vorbereitung für die bald kommende Klausur durchrechnen.
Wenn ich das richtig sehe, geht es um die Exponentialfunktion zur Basis a.
Also kann man doch so ansetzen:
[mm] exp_a(x)=a^x=exp(x\cdot ln a)[/mm]. So da hört es bei mir schon auf. Wenn ich mal den Teil ln(a) betrachte, ist ja klar, dass für ein [mm]a_1>1[/mm] ln(a) positiv ist. Damit würde für jedes darauffolgende [mm]a_2[/mm] ln(a) größer sein als bei [mm]a_1[/mm] und damit ergibt sich eine streng monoton wachsende Funktion. Entsprechend umgekehrt für die strenge Antitonie. Wie formalisiere ich das (falls es überhaupt richtig ist)?

        
Bezug
Isotonie für exp mit Basis a: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:37 Di 09.12.2008
Autor: pelzig


> Man beweise: Die Funktion [mm]exp_a:\mathbb{R} \rightarrow ]0,\infty[, x\mapsto a^x,[/mm]
> ist für [mm]a>1[/mm] streng monoton wachsend und für [mm]0
> monoton fallend.

> [mm]exp_a(x)=a^x=exp(x\cdot ln a)[/mm]. So da hört es bei mir schon
> auf. Wenn ich mal den Teil ln(a) betrachte, ist ja klar,
> dass für ein [mm]a>1[/mm] ln(a) positiv ist.

Genau. Jetzt willst du zeigen, dass dann [mm] $x
Der zweite Fall geht genauso.

Gruß, Robert

Bezug
                
Bezug
Isotonie für exp mit Basis a: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:00 Di 09.12.2008
Autor: T_sleeper

Okay danke. Habs mal so aufgeschrieben:
Für [mm]a>1[/mm]. Es gilt zu zeigen: [mm]x
Da [mm]ln\, a\underset{a>1}{>0}[/mm] folgt: [mm]x\cdot ln\, a [mm]exp_{a}(x)=exp(x\cdot ln\, a) Zweiter Fall dann analog.
Müsste passen oder?

Jetzt gibts noch so einen schönen zweiten Teil der Aufgabe:
Wenn das obige gilt, dann ist [mm]exp_a[/mm] in beiden Fällen eine Bijektion mit Umkehrfunktion [mm]log_{a}x=\frac{ln\, x}{ln\, a}[/mm].

Da bin ich jetzt wieder halb am Verzweifeln. Wie zeige ich für die beiden Fälle Injektivität und Surjektivität?

Bezug
                        
Bezug
Isotonie für exp mit Basis a: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:18 Di 09.12.2008
Autor: pelzig


> Okay danke. Habs mal so aufgeschrieben:
>  Für [mm]a>1[/mm]. Es gilt zu zeigen: [mm]x
>  
> Da [mm]ln\, a\underset{a>1}{>0}[/mm] folgt: [mm]x\cdot ln\, a
> Aufgrund der strengen Monotonie von exp folgt:
>  [mm]exp_{a}(x)=exp(x\cdot ln\, a)
>  
> Zweiter Fall dann analog.
>  Müsste passen oder?

Ja.

> Jetzt gibts noch so einen schönen zweiten Teil der
> Aufgabe:
>  Wenn das obige gilt, dann ist [mm]exp_a[/mm] in beiden Fällen eine
> Bijektion mit Umkehrfunktion [mm]log_{a}x=\frac{ln\, x}{ln\, a}[/mm].
>
> Da bin ich jetzt wieder halb am Verzweifeln. Wie zeige ich
> für die beiden Fälle Injektivität und Surjektivität?

Stetige Monotone Funktionen sind stets injektiv. Surjektiv werden sie natürlich nur, falls du die Zielmenge auf das Bild einschränkst, z.B. ist ja [mm] $\exp_2(x)>0$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IR$, [/mm] also nicht surjektiv als Funktion von [mm] $\IR\to\IR$. [/mm]

Gruß, Robert

Bezug
                                
Bezug
Isotonie für exp mit Basis a: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:31 Di 09.12.2008
Autor: T_sleeper


> Stetige Monotone Funktionen sind stets injektiv. Surjektiv
> werden sie natürlich nur, falls du die Zielmenge auf das
> Bild einschränkst, z.B. ist ja [mm]\exp_2(x)>0[/mm] für alle
> [mm]x\in\IR[/mm], also nicht surjektiv als Funktion von [mm]\IR\to\IR[/mm].
>  
> Gruß, Robert

Das mit der Injektivität sehe ich ein. Allerdings müsste ich dann ja noch die Stetigkeit der Funktion beweisen.
Mit der Surjektivität komme ich nicht weiter. Die Zielmenge ist ja [mm]]0,\infty[[/mm] also quasi [mm]\mathbb{R}_{+}\backslash\{0\}[/mm]. Wie schränke ich das auf das Bild ein, um dann zu einem Surjektivitätsbeweis zu kommen?


Bezug
                                        
Bezug
Isotonie für exp mit Basis a: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Do 11.12.2008
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Isotonie für exp mit Basis a: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:36 Di 09.12.2008
Autor: djmatey

Hallo,

du kannst auch einfach die Ableitung betrachten und zeigen, dass diese >0 bzw. <0 ist.

LG djmatey

Bezug
                
Bezug
Isotonie für exp mit Basis a: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:42 Di 09.12.2008
Autor: T_sleeper


> Hallo,
>  
> du kannst auch einfach die Ableitung betrachten und zeigen,
> dass diese >0 bzw. <0 ist.
>  
> LG djmatey

Diese Argumentation akzeptiert unser Prof leider nicht.

Gruß, tsleeper


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