Isomorphismus zwischen Ringen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Sa 18.10.2008 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | Seien [mm] \mu [/mm] = [mm] e^{2*\pi*i/3} [/mm] , [mm] \nu= e^{i*\pi/3} [/mm] und [mm] \IZ[\mu] [/mm] , [mm] \IZ[\nu] \subset \IC.
[/mm]
Zeigen Sie: [mm] \IZ[\mu] \cong \IZ[x]/(x^2 [/mm] + x +1). und [mm] \IZ[\nu] \cong \IZ[x]/(x^2-x+1). [/mm] |
Da es sich hier um einen Ringisomorphismus handelt, muss ja das neutrale Element auf das neutrale Element abgebildet werden.
Doch wie gehe ich nun am besten vor, um einen solchen Isomorphimus herauszufinden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:42 So 19.10.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo,
also meistens hilft der Homomorphie bzw. Isomorphiesatz (für Ringe) in solchen Angelegenheiten weiter.
Dieser macht gerade eine Aussage über die (eindeutige) Existenz von bestimmten Gruppenhomomorphismen bzw -isomorphismen:
Sei [mm] \phi: [/mm] R [mm] \to [/mm] S ein Ringhomomorphismus und [mm] (a)\subset [/mm] R ein Ideal mit [mm] (a)\subset ker\phi. [/mm] Dann existiert eindeutig ein Ringhomomorphismus [mm] \psi: R/(a)\to [/mm] S mit [mm] \phi=\psi*\pi. [/mm] (wobei [mm] \pi [/mm] der kanon. Epimorphismus [mm] R\toR/(a) [/mm] mit [mm] x\mapsto\(x+(a))
[/mm]
[mm] \psi [/mm] ist injektiv gdw. ker [mm] \phi=(a).
[/mm]
D.h.: Wenn wir jetzt also ein Ringhomomorphismus [mm] \phi [/mm] von R nach S definieren können, der surjektiv und injektiv (also für den ker [mm] \phi=(a) [/mm] gilt) ist, DANN existiert ein Isomorphismus [mm] \psi: R/(a)\to [/mm] S.
1. Definiere also eine Abb. [mm] \phi [/mm] von [mm] \IZ[X] [/mm] nach [mm] \IZ[ e^{\bruch{2\pi i}{3}}], [/mm] die ein Ringhomomorphismus ist, nachprüfen.
2. Zeige, dass ker [mm] \phi=(X²+X+1)
[/mm]
3. Zeige, dass [mm] \phi [/mm] surjektiv ist.
Bei 1. muss theoretisch 2 und 3 natürlich auch schon berücksichtigt werden. In vielen Fällen ist die Abb. quasi "eindeutig". In diesem Fall zum Beispiel bietet sich an den entsprechenden Einsetzungshomomorphismus zu wählen, also: [mm] \phi(f) [/mm] := [mm] f(e^{\bruch{2\pi i}{3}}). [/mm] Man hat also ein Polynom mit Koeffizienten aus [mm] \IZ [/mm] gegeben und die Abbildung ersetzt dann die "Variable" X durch [mm] e^{\bruch{2\pi i}{3}}.
[/mm]
Für 2 bietet sich immer an einmal I. ker [mm] \phi \subseteq [/mm] (X²+X+1) und II. ker [mm] \phi \supseteq [/mm] (X²+X+1) zu zeigen.
Für II. sollte man den Funktionswert von [mm] \phi(g*(X²+X+1)) [/mm] für alle [mm] g\in \IZ[X] [/mm] untersuchen.
So weit das Konzept dazu.
VG
Fry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 So 19.10.2008 | | Autor: | johnny11 |
Hallo,
Vielen Dank bereits für die tolle Antwort.
Etwas ist mir nun noch nicht ganz klar.
> Hallo,
>
> also meistens hilft der Homomorphie bzw. Isomorphiesatz
> (für Ringe) in solchen Angelegenheiten weiter.
> Dieser macht gerade eine Aussage über die (eindeutige)
> Existenz von bestimmten Gruppenhomomorphismen bzw
> -isomorphismen:
>
> Sei [mm]\phi:[/mm] R [mm]\to[/mm] S ein Ringhomomorphismus und [mm](a)\subset[/mm] R
> ein Ideal mit [mm](a)\subset ker\phi.[/mm] Dann existiert eindeutig
> ein Ringhomomorphismus [mm]\psi: R/(a)\to[/mm] S mit [mm]\phi=\psi*\pi.[/mm]
> (wobei [mm]\pi[/mm] der kanon. Epimorphismus [mm]R\toR/(a)[/mm] mit
> [mm]x\mapsto\(x+(a))[/mm]
> [mm]\psi[/mm] ist injektiv gdw. ker [mm]\phi=(a).[/mm]
>
> D.h.: Wenn wir jetzt also ein Ringhomomorphismus [mm]\phi[/mm] von R
> nach S definieren können, der surjektiv und injektiv (also
> für den ker [mm]\phi=(a)[/mm] gilt) ist, DANN existiert ein
> Isomorphismus [mm]\psi: R/(a)\to[/mm] S.
>
> 1. Definiere also eine Abb. [mm]\phi[/mm] von [mm]\IZ[X][/mm] nach [mm]\IZ[ e^{\bruch{2\pi i}{3}}],[/mm]
> die ein Ringhomomorphismus ist, nachprüfen.
> 2. Zeige, dass ker [mm]\phi=(X²+X+1)[/mm]
> 3. Zeige, dass [mm]\phi[/mm] surjektiv ist.
>
Mir ist nicht ganz klar, weshalb ich zeigen muss, dass [mm] \phi [/mm] surjektiv ist.
Bin dann auch beim Beweis nicht ganz klar gekommen.
Sei s [mm] \in [/mm] S [mm] (=\IZ[e^{\bruch{2\pi i}{3}}])
[/mm]
Behauptung: [mm] \exists [/mm] r [mm] \in [/mm] R [mm] (=\IZ[x]) [/mm] mit [mm] \phi [/mm] (r) = s.
Wär dieses Prinzip korrekt um die Surjektivität zu zeigen? Wie muss ich dann weitermachen?
> Bei 1. muss theoretisch 2 und 3 natürlich auch schon
> berücksichtigt werden. In vielen Fällen ist die Abb. quasi
> "eindeutig". In diesem Fall zum Beispiel bietet sich an den
> entsprechenden Einsetzungshomomorphismus zu wählen, also:
> [mm]\phi(f)[/mm] := [mm]f(e^{\bruch{2\pi i}{3}}).[/mm] Man hat also ein
> Polynom mit Koeffizienten aus [mm]\IZ[/mm] gegeben und die Abbildung
> ersetzt dann die "Variable" X durch [mm]e^{\bruch{2\pi i}{3}}.[/mm]
>
> Für 2 bietet sich immer an einmal I. ker [mm]\phi \subseteq[/mm]
> (X²+X+1) und II. ker [mm]\phi \supseteq[/mm] (X²+X+1) zu zeigen.
>
> Für II. sollte man den Funktionswert von [mm]\phi(g*(X²+X+1))[/mm]
> für alle [mm]g\in \IZ[X][/mm] untersuchen.
>
> So weit das Konzept dazu.
> VG
>
> Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 So 19.10.2008 | | Autor: | Fry |
Hi,
hier gilt [mm] \psi [/mm] ist surjektiv gdw. [mm] \phi [/mm] ist surjektiv. Das hängt mit der Surjektivität von [mm] \pi [/mm] zusammen und der (universellen) Eigenschaft, dass [mm] \phi=\psi*\pi. [/mm]
Bzgl. des Beweises der Surjektivität: Jap, genau der richtige Ansatz.
Eigentlich kann man bei diesem Punkt meistens nicht viel zeigen/schreiben bzw. man könnte sich ausnahmsweise erlauben,dass mit klar oder trivial ;) abzuhaken (falls es sich um einen Übungszettelaufgabe handelt =) )
Würde schreiben: Es existiert für jedes [mm] y\in \IZ[e^{\bruch{2\pi i}{3}}] [/mm] existiert ein f [mm] \in \IZ[X] [/mm] mit [mm] f(e^{\bruch{2\pi i}{3}})=y, [/mm] denn schließlich ist ja [mm] \IZ[e^{\bruch{2\pi i}{3}}] [/mm] = { [mm] f(e^{\bruch{2\pi i}{3}}), f\in\IZ[X] [/mm] }.
Also existiert zu jedem y das Urbild [mm] \phi^{-1}(y) [/mm] (nämlich = f) und damit ist [mm] \phi [/mm] surjektiv.
Wenn du die Lösung weißt, kannst du ja mal die Musterlösung zu dem Punkt posten.
Gruß
Fry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 So 19.10.2008 | | Autor: | johnny11 |
ok, ich denke so langsam wird mir das klar.
Aber noch eins:
Jetzt habe ich ja gezeigt, dass [mm] \phi [/mm] ein Homomorphismus ist, und dass [mm] \phi [/mm] surjektiv ist. Also weiss ich nun, dass [mm] \psi [/mm] ein surjektiver Homomorphismus ist. Aber ich möchte ja, dass [mm] \psi [/mm] ein Isomorphismus ist. Woraus folgt denn die Injektivität von [mm] \psi?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 So 19.10.2008 | | Autor: | Fry |
Sei $ [mm] \phi: [/mm] $ R $ [mm] \to [/mm] $ S ein Ringhomomorphismus und $ [mm] (a)\subset [/mm] $ R ein Ideal mit $ [mm] (a)\subset ker\phi. [/mm] $ Dann existiert eindeutig ein Ringhomomorphismus $ [mm] \psi: R/(a)\to [/mm] $ S mit $ [mm] \phi=\psi\cdot{}\pi. [/mm] $ (wobei $ [mm] \pi [/mm] $ der kanon. Epimorphismus $ [mm] R\toR/(a) [/mm] $ mit $ [mm] x\mapsto\(x+(a)) [/mm] $
$ [mm] \psi [/mm] $ ist injektiv gdw. ker $ [mm] \phi=(a). [/mm] $
Der letzte Satz ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 So 19.10.2008 | | Autor: | johnny11 |
aja genau, das hast du ja bereits geschrieben.
Vielen Dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Di 21.10.2008 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | Zeigen Sie: [mm] \IC[x,y]/(x^2+y^2-1) \cong \IC[u,v]/(uv-1) \cong \IC[t,t^-1].
[/mm]
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Könnte ich diese Aufgabe ähnlich lösen wie diese?
> Seien [mm]\mu[/mm] = [mm]e^{2*\pi*i/3}[/mm] , [mm]\nu= e^{i*\pi/3}[/mm] und [mm]\IZ[\mu][/mm] ,
> [mm]\IZ[\nu] \subset \IC.[/mm]
>
> Zeigen Sie: [mm]\IZ[\mu] \cong \IZ[x]/(x^2[/mm] + x +1). und
> [mm]\IZ[\nu] \cong \IZ[x]/(x^2-x+1).[/mm]
>
Kann ich da also auch den Isomorphiesatz für Ringe verwenden, oder muss ich bei dieser Aufgabe ganz anders vorgehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Di 21.10.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo,
ja, das geht auch mit dem Isomorphiesatz.
Nimm einfach die Abb.
[mm] \phi:\IC[X,Y] \to \IC[X,X^{-1}]
[/mm]
[mm] \summe_{i,j\in\IN}^{}c*X^{i}Y^{j}\mapsto \summe_{i,j\in\IN}^{}c*X^{i}X^{-j} (=\summe_{i,j\in\IN}^{}c*X^{i-j}) [/mm] wobei [mm] c\in\IC
[/mm]
Man bildet also ein Polynom aus dem Polynomring mit 2 Variablen X,Y auf ein Laurentpolynom ab (Variable Y wird durch [mm] X^{-1} [/mm] ersetzt. Dadurch bekommt man jetzt auch negative Exponenten.)
Man sieht vielleicht auch schon, dass es klappen wird, denn als Ideal wurde (XY-1) gewählt und [mm] \phi(XY-1)=X*X^{-1}-1=0 [/mm] und damit liegt (XY-1) im Kern usw.
Viele Grüße
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:17 Mi 22.10.2008 | | Autor: | johnny11 |
Ok, und dann wende ich den Isomorphiesatz also zweimal an?
zuerst von [mm] \IC[x,y]/(x^2+y^2-1) [/mm] nach [mm] \IC[t,t^-1]
[/mm]
und danach von [mm] \IC[u,v]/(uv-1) [/mm] nach [mm] \IC[t,t^-1].
[/mm]
Das eine Ideal wäre dann aber [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] -1). und da klappst dann nicht so einfach, zu zeigen, dass dies im Kern von [mm] \phi [/mm] liegt...!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:41 Mi 22.10.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo,
also man muss sich natürlich schon ein neuen Gruppenhomomorphismus [mm] \phi [/mm] definieren, der die entsprechenden Eigenschaften erfüllt, aber ehrlich gesagt hab ich keine Ahnung wie die Abbildung aussehen müsste....
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[mm] \IC[x,y]/(x^2+y^2-1) \cong \IC[u,v]/(uv-1) [/mm]
für diesen Teil der Aufgabe hätte ich nun folgende Idee:
Sie [mm] \varphi [/mm] : [mm] \IC[x,y]/(x^2+y^2-1) \to \IC[u,v]/(uv-1)
[/mm]
mit x [mm] \mapsto [/mm] u und y [mm] \mapsto [/mm] v.
Nun muss ich also noch zeigen, dass die beiden Ideale [mm] (u^2+v^2-1) [/mm] und (uv-1) gleich sind. Könnte ich dies so machen? Doch da wusste ich dann nicht mehr gut weiter...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 28.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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