Isomorphismus zeigen! < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei B = [mm] {v_{1},.....,v_{n}} [/mm] eine Basis des K-Vektorraums V und C = [mm] {w_{1},....,w_{m}} [/mm] eine Basis des K-Vektorraums W, sowie A = BMC(f) die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung f : V → W. Ferner seien [mm] s_{1},....,s_{n} [/mm] die Spaltenvektoren von A und U := [mm] . [/mm]
Zeigen Sie, dass es einen Isomorphismus φ : U → Bild(f) mit φ [mm] (s_{i}) [/mm] = [mm] f(v_{i}) [/mm] gibt! |
Ich stehe bei dieser Frage ziemlich auf dem Schlauch, wäre daher für jede Hilfe dankbar, auch wenn's nur ein kleiner Schubser in die richtige Richtung ist!
Ich würde gerne wissen, wie ich die Lösung angehe, d.h. muss ich irgendwie beweisen, ob es genau diesen Isomorphismus gibt oder genügt das wenn ich die Antwort lediglich schriftlich erläutere!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei B = [mm]{v_{1},.....,v_{n}}[/mm] eine Basis des K-Vektorraums
> V und C = [mm]{w_{1},....,w_{m}}[/mm] eine Basis des K-Vektorraums
> W, sowie A = BMC(f) die Darstellungsmatrix einer linearen
> Abbildung f : V → W. Ferner seien [mm]s_{1},....,s_{n}[/mm]
> die Spaltenvektoren von A und U := [mm].[/mm]
> Zeigen Sie, dass es einen Isomorphismus φ : U →
> Bild(f) mit φ [mm](s_{i})[/mm] = [mm]f(v_{i})[/mm] gibt!
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich glaube, Du hast Deine Matrix falsch aufgeschrieben, das soll doch sicher heißen [mm] A=_CM_B(f), [/mm] jedenfalls wäre das eine der Notationen, die im allgemeinen Wirrwarr recht verbreitet ist.
Um die Aufgabe zu lösen, überlege Dir mal, was es bedeutet, wenn [mm] s_1:=\vektor{a_{11} \\a_{21}\\\vdots\\a_{m1}} [/mm] die erste Spalte der obigen darstellenden Matrix ist.
Das bedeutet doch, daß [mm] f(v_1)=a_{11}w_1+a_{21}w_2 [/mm] + ... [mm] +a_{m1}w_m [/mm] ist.
Vielleicht kommst Du hiermit ja schon weiter.
Gruß v. Angela
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