Isomorphismus widerlegen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Overlord |
Hi.
Ich hoffe, ich verstoße damit nicht gegen die Forenregeln, da ich eigentlich keine "konkrete" Frage habe. Aber ich komme mit den Formulierungen meiner Unterlagen hier leider nicht weiter was das Verständnis anbelangt.
Also wie kann ich allgemein zeigen, dass zwischen zwei Gruppen KEIN Isomorphismus besteht ?
In meinen Unterlagen steht nur, dass man hierzu eine Gruppentheoretische Eigenschaft finden muss, der in beiden Gruppen unterschiedlich ist.
Als Beispiel wurden die Gruppen ( R \ {0}, * ) und ( R+ , * ) angegeben und gesagt, dass eben x*x = e auf der Menge R \ {0} 2 Lösungen hat ( nämlich -1 u. 1 ) und R+ nur eine Lösung (1).
Nur verstehe ich auch bei diesem Beispiel nicht, wieso deshalb keine bijektive Abbildung zwischen den beiden Gruppen existieren könne.
Wär sehr dankbar, wenn mir das vl jemand erklären oder einen geeigneten Link angeben könnte. ( Suchfunktion und Google ergab auch nichts, bis auf das, was ich sowieso schon weiss. Also die Definition vom Isomorphismus ist mir klar. Ich habe eben nur ein Verständnisproblem solch einen Beweis zum Widerspruch zu führen, bzw. weiss nicht wie ich die Existenz eines Isomorphismus widerlegen soll )
mfg,
Andy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Mi 02.02.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi Andy,
die Lösung dafür hast du ja schon geschrieben, ich möchte vielmehr dein Beispiel erklären:
> Als Beispiel wurden die Gruppen ( R \ {0}, * ) und ( R+ , *
> ) angegeben und gesagt, dass eben x*x = e auf der Menge R \
> {0} 2 Lösungen hat ( nämlich -1 u. 1 ) und R+ nur eine
> Lösung (1).
also ein möglicher Isomorphismus $ f : ( [mm] R\backslash\{ 0\} [/mm] , * [mm] )\to [/mm] ( [mm] R_{+} [/mm] , *) $
muss die beiden $ [mm] x_1 [/mm] =1 $ und $ [mm] x_2 [/mm] =-1 $ auf x=1 in $ [mm] R_{+} [/mm] $ abbilden, denn dies ist das einzige Element mit deiner genannten Eigenschaft : x*x=e
Damit ist f aber nicht injektiv, somit kein Isomorphismus.
Hoffe, du verstehst, was ich meine.
Im Allgemeinen ist sowas natürlich schwer zu sehen.
viele Grüße
DaMenge
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