Isomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 So 25.11.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Es sei G eine Gruppe.
Beweisen Sie G/Z(G) [mm] \cong [/mm] Inn(G) |
i: G -> Aut(G), g -> [mm] i_g
[/mm]
[mm] i_g [/mm] : x -> g x [mm] g^{-1}
[/mm]
i ist ein Gruppenhomomorphismus:
i(g) (xy)= [mm] i_g [/mm] (xy) = [mm] i_g [/mm] (x) [mm] i_g [/mm] (y) = i(g) (x) * i(g) (y)
ker(i)= Z(G) (Rechung verstanden, werde ich hier nicht ausführen)
Img(i) = Inn(G) laut Konstruktion
Behauptung folgt auch Homomophiesatz.
Passt das?
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Der Homomorphiesatz für [mm]\pi \colon G\to H[/mm] liefert dir nur eine Isomorphie zwischen [mm]G/\operatorname{Kern}(\pi)[/mm] und [mm]\operatorname{Bild}(\pi)[/mm].
Da fehlt zumindest nur die Surjektivität.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 So 25.11.2012 | | Autor: | sissile |
Die Surjektivität gilt aber nicht i: G-> Aut(G)
Ich habe meine Abbildung ja so konstruiert dass Img(i) = Inn(G). Was soll ch dazu noch zeigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 So 25.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Ja das mit der Sujektivität ist meiner Meinung nach ok so. Kannst ja einen Satz schreiben, dass g das Urbild von [mm] i_g [/mm] ist um auf Nummer sicher zu gehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 So 25.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja also der Kern passt und surjektiv ist das auch (weil [mm] i_g [/mm] das Urbild g hat natürlich). Bei der Homomorphieeigenschaft musst du etwas aufpassen. Du hast nur gezeigt, dass [mm] i_g, [/mm] also die Konjugation mit g, ein Homomorphismus ist. Aber du willst ja zeigen, dass i ein Homomorphismus ist.
Also musst du [mm] $i_{gh}=i_g\circ i_h$ [/mm] zeigen, was aber auch nicht schwieriger ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 So 25.11.2012 | | Autor: | sissile |
Ahja ist klar,
danke ;)
LG
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