Isomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Fr 01.07.2011 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | Betrachten Sie die gemäß
[mm]L(x):= \pmat{2x_1 \\ 4x_1-x_2 \\ 2x_1+3x_2-x_3}[/mm]
definierte lineare Abbildung $ L: [mm] \IR^3 \to \IR^3 [/mm] $. Zeigen Sie, dass $ L $ ein Isomorphismus ist und bestimmen Sie $ [mm] L^{-1} [/mm] $. Wie lauten die Matrizen von $ L $ und $ [mm] L^{-1} [/mm] $ bzgl. der kanonischen Basis von $ [mm] \IR^3 [/mm] $? |
Hallo,
hier meine Lösung:
Die Matrix [mm] A = \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 4 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & -1 } [/mm] ist die Matrix von $ L $ bzgl. der kanonischen Basis.
Wendet man Gauß-Jordan an, so erhält man die dreidimensionale Einheitsmatrix. Also ist der Rang $ r(A) = 3 $ und $ L $ ist ein Isomorphismus. Also existiert auch $ [mm] L^{-1} [/mm] $.
$ [mm] L^{-1} [/mm] $ ist gegeben durch $ [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 7 & -3 & -1 } [/mm] $. (Die Rechnung habe ich mal weggelassen, denn die ist nicht so spannend...Ich habe die gleichen Rechenoperationen auf der Einheitsmatrix durchführt wie bei Gauß-Jordan auf A).
Meine Frage ist, wie zeige ich, dass $ L $ ein Isomorphismus ist? Reicht es aus zu zeigen, dass $ Ker(L) = [mm] \{0\} [/mm] $, bzw. dass [mm]r(A) = n[/mm]?
Danke :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 Fr 01.07.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Betrachten Sie die gemäß
> [mm]L(x):= \pmat{2x_1 \\ 4x_1-x_2 \\ 2x_1+3x_2-x_3}[/mm]
>
> definierte lineare Abbildung [mm]L: \IR^3 \to \IR^3 [/mm]. Zeigen
> Sie, dass [mm]L[/mm] ein Isomorphismus ist und bestimmen Sie [mm]L^{-1} [/mm].
> Wie lauten die Matrizen von [mm]L[/mm] und [mm]L^{-1}[/mm] bzgl. der
> kanonischen Basis von [mm]\IR^3 [/mm]?
> Hallo,
>
> hier meine Lösung:
>
> Die Matrix [mm]A = \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 4 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & -1 }[/mm]
> ist die Matrix von [mm]L[/mm] bzgl. der kanonischen Basis.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wendet man Gauß-Jordan an, so erhält man die
> dreidimensionale Einheitsmatrix. Also ist der Rang [mm]r(A) = 3[/mm]
> und [mm]L[/mm] ist ein Isomorphismus. Also existiert auch [mm]L^{-1} [/mm].
>
> [mm]L^{-1}[/mm] ist gegeben durch [mm]A^{-1} = \pmat{ \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 7 & -3 & -1 } [/mm].
> (Die Rechnung habe ich mal weggelassen, denn die ist nicht
> so spannend...Ich habe die gleichen Rechenoperationen auf
> der Einheitsmatrix durchführt wie bei Gauß-Jordan auf
> A).
>
> Meine Frage ist, wie zeige ich, dass [mm]L[/mm] ein Isomorphismus
> ist? Reicht es aus zu zeigen, dass [mm]Ker(L) = \{0\} [/mm], bzw.
> dass [mm]r(A) = n[/mm]?
Ja, reicht, da L eine lineare Abbildung und [mm] $\IR^3$ [/mm] endlich dimensional ist.
>
> Danke :)
Gruß
meili
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