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| Aufgabe | Es sei G die Gerade durch (0, 0, 0) und (1,−1,−1) in [mm] R^3 [/mm] und
E die Ebene durch (0, 0, 0), (2, 1,−3) und (1, 0, 1) in [mm] R^3. [/mm] Zeigen
Sie, dass die Funktion p von [mm] R^3 [/mm] nach E, die jedem Tripel
(a, b, c) den Schnittpunkt der Ebene E mit der Geraden
(a, b, c)+G zuordnet, linear ist. Kann man das geometrisch interpretieren?
Zeigen Sie, dass das Bild einer Geraden in [mm] R^3 [/mm] unter p eine Gerade
oder ein Punkt in E ist. Berechnen Sie die Koordinaten
von p(a, b, c) bezüglich der Basis ((2, 1,−3), (1, 0, 1)) von E.
Zeigen Sie, dass die Einschränkung q von p auf den von (1, 1, 0)
und (0, 0, 1) erzeugten Untervektorraum ein Isomorphismus von
Vektorräumen ist.
Berechnen Sie [mm] q^{-1}((2, [/mm] 1,−3)) und [mm] q^{-1}((1, [/mm] 0, 1)). |
Hallo!
Ich habe die Vorschrift:
[mm]\vektor{a\\b\\c}\mapsto\vektor{\frac{4}{3}\\1\\ \frac{-11}{3}}t+\vektor{\frac{2a}{3}+\frac{b}{3}+\frac{c}{3}\\0\\ \frac{2a}{3}+\frac{b}{3}+\frac{c}{3}}[/mm]
und zeigen können, dass die Funktion linear ist. Bezüglich der Basis ((2, 1,−3), (1, 0, 1)) erhalte ich:
[mm]\vektor{a\\b\\c}\mapsto\vektor{1\\ \frac{-2}{3}}t+\vektor{0\\ \frac{2a}{3}+\frac{b}{3}+\frac{c}{3}}=\vektor{a\\b\\c}\mapsto\vektor{1\\ \frac{-2}{3}}t+\pmat{0&0&0\\ \frac{2}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}}\vektor{a\\b\\c}[/mm]
Stimmt das bis hier?
Nun muss ich zeigen, dass jedes Element der Zielmenge genau ein Urbild hat. Dazu habe ich erstmal die Abbildung [mm]\vektor{a\\b\\c}=\pmat{1&0\\1&0\\0&1}\vektor{x\\y}[/mm] und [mm]\pmat{0&0&0\\ \frac{2}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}}\vektor{a\\b\\c}[/mm] hintereinanderangewendet. Durch Multiplikation erhalte ich die neue Funktion:
[mm]\vektor{x\\y}\mapsto\vektor{1\\ \frac{-2}{3}}t+\pmat{0&0\\1&\frac{1}{3}}\vektor{x\\y}[/mm]
Ich finde aber kein Urbild da die Matrix [mm]\pmat{0&0\\1&\frac{1}{3}}[/mm] nicht invertierbar ist!!
Könnte mir bitte jemand sagen, was ich falsch mache?
Danke im Voraus!
Gruß
Angelika
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> Es sei G die Gerade durch (0, 0, 0) und (1,−1,−1) in
> [mm]R^3[/mm] und
> E die Ebene durch (0, 0, 0), (2, 1,−3) und (1, 0, 1) in
> [mm]R^3.[/mm] Zeigen
> Sie, dass die Funktion p von [mm]R^3[/mm] nach E, die jedem Tripel
> (a, b, c) den Schnittpunkt der Ebene E mit der Geraden
> (a, b, c)+G zuordnet, linear ist. Kann man das geometrisch
> interpretieren?
> Zeigen Sie, dass das Bild einer Geraden in [mm]R^3[/mm] unter p
> eine Gerade
> oder ein Punkt in E ist. Berechnen Sie die Koordinaten
> von p(a, b, c) bezüglich der Basis ((2, 1,−3), (1, 0,
> 1)) von E.
> Zeigen Sie, dass die Einschränkung q von p auf den von
> (1, 1, 0)
> und (0, 0, 1) erzeugten Untervektorraum ein Isomorphismus
> von
> Vektorräumen ist.
> Berechnen Sie [mm]q^{-1}((2,[/mm] 1,−3)) und [mm]q^{-1}((1,[/mm] 0, 1)).
> Hallo!
>
> Ich habe die Vorschrift:
>
> [mm]\vektor{a\\b\\c}\mapsto\vektor{\frac{4}{3}\\1\\ \frac{-11}{3}}t+\vektor{\frac{2a}{3}+\frac{b}{3}+\frac{c}{3}\\0\\ \frac{2a}{3}+\frac{b}{3}+\frac{c}{3}}[/mm]
Hallo,
wo kommt die denn her, bzw. warum ist sie so, wie sie ist?
Was macht das t darin?
Wie lautet denn der Schnittpunkt von (a,b,c)+G mit der Ebene E? Den brauchen wir erstmal.
Gruß v. Angela
>
> und zeigen können, dass die Funktion linear ist.
> Bezüglich der Basis ((2, 1,−3), (1, 0, 1)) erhalte
> ich:
>
> [mm]\vektor{a\\b\\c}\mapsto\vektor{1\\ \frac{-2}{3}}t+\vektor{0\\ \frac{2a}{3}+\frac{b}{3}+\frac{c}{3}}=\vektor{a\\b\\c}\mapsto\vektor{1\\ \frac{-2}{3}}t+\pmat{0&0&0\\ \frac{2}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}}\vektor{a\\b\\c}[/mm]
>
> Stimmt das bis hier?
>
> Nun muss ich zeigen, dass jedes Element der Zielmenge genau
> ein Urbild hat. Dazu habe ich erstmal die Abbildung
> [mm]\vektor{a\\b\\c}=\pmat{1&0\\1&0\\0&1}\vektor{x\\y}[/mm] und
> [mm]\pmat{0&0&0\\ \frac{2}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}}\vektor{a\\b\\c}[/mm]
> hintereinanderangewendet. Durch Multiplikation erhalte ich
> die neue Funktion:
>
> [mm]\vektor{x\\y}\mapsto\vektor{1\\ \frac{-2}{3}}t+\pmat{0&0\\1&\frac{1}{3}}\vektor{x\\y}[/mm]
>
> Ich finde aber kein Urbild da die Matrix
> [mm]\pmat{0&0\\1&\frac{1}{3}}[/mm] nicht invertierbar ist!!
>
> Könnte mir bitte jemand sagen, was ich falsch mache?
>
> Danke im Voraus!
>
> Gruß
>
> Angelika
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Hallo!
> Wie lautet denn der Schnittpunkt von (a,b,c)+G mit der
> Ebene E? Den brauchen wir erstmal.
Genau so habe ich die Vorschrift hergeleitet. Ich habe die Gerade und Ebene in implizite Form umgewandelt und erhalte:
2x+y+z=0
-x+5y+z=0
Dann habe ich c in 2x+y+z=k so gewählt, dass der Punkt (a,b,c) draufliegt.
Also 2x+y+z=2a+b+c
Dann habe ich dieses System mit Maple gelöst und komme auf die in meiner Vorschrift angegeben Parameterform. Was stimmt daran nicht?
Gruß
Angelika
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> Hallo!
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> > Wie lautet denn der Schnittpunkt von (a,b,c)+G mit der
> > Ebene E? Den brauchen wir erstmal.
>
> Genau so habe ich die Vorschrift hergeleitet. Ich habe die
> Gerade und Ebene in implizite Form umgewandelt
Hallo,
Deine Gerdengleichung E: -x+5y+z=0 ist richtig,
was soll denn die implizite Form einer Geraden im [mm] \IR^3 [/mm] sein?
und
> erhalte:
>
> 2x+y+z=0
Das ist eine Ebenengleichung.
Die Gerade, um welche es hier geht, ist (in Parameterform) die Gerade g: [mm] \vex{x}=\vektor{a\\b\\c}+ t\vektor{1\\-1\\-1}.
[/mm]
Da Du offenbar zwei Ebenen zum Schnitt gebracht hast, ist es kein Wunder, daß Dir Maple die Gleichung einer Geraden statt eines Schnittpunktes geliefert hat:
> > > $ [mm] \vektor{a\\b\\c}\mapsto\vektor{\frac{4}{3}\\1\\ \frac{-11}{3}}t+\vektor{\frac{2a}{3}+\frac{b}{3}+\frac{c}{3}\\0\\ \frac{2a}{3}+\frac{b}{3}+\frac{c}{3}} [/mm] $
Gruß v. Angela
>
> -x+5y+z=0
>
> Dann habe ich c in 2x+y+z=k so gewählt, dass der Punkt
> (a,b,c) draufliegt.
> Also 2x+y+z=2a+b+c
>
> Dann habe ich dieses System mit Maple gelöst und komme auf
> die in meiner Vorschrift angegeben Parameterform. Was
> stimmt daran nicht?
>
> Gruß
>
> Angelika
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