Isomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Sa 06.12.2008 | | Autor: | winni87 |
| Aufgabe | | Es sei V ein K-Vektorraum der Dimension n mit Basis {vi} i=1,...,n W ein K-Vektorraum mit Basis {wi} i=1,...,n. Die lineare Abbildung f: V -> W bilde die Elemente der Basis V surjektiv auf die Basis von W ab. Zeigen Sie, dass f ein Isomorphismus ist. |
Hallo.
Ein Isomorphismus ist ja dann gegeben, wenn f bijektiv ist. Also surjektiv und injektiv. Da in der Aufgabe schon steht, dass das die Surjektivität gegeben ist, würde ich sagen, müsste man nurnoch die Injektivität zeigen, aber wie macht man sowas?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Vergil |
Hallo,
Kurz etwas zur Notation. Mit [mm] f^{-}x[/mm] bezeichne ich die Urbildmenge von x.
[mm] A := \left\{ v_1, v_2 , \dots , v_n \right\} [/mm] und [mm] B := \left\{ b_1, b_2 , \dots , a_n \right\} [/mm] und [mm] f: A \rightarrow B [/mm] und [mm] f (v_i) = w_i [/mm]. Zunächst stellen wir fest [mm] \left| A \right| = \left| B \right| [/mm]. Zunächst ist [mm] B = \cup_{i} f^{-} w_i [/mm] und für [mm] b_j \not= b_k [/mm] gilt [mm] f^{-1} b_j \cap f^{-1} b_k = \emptyset [/mm]. Warum? Außerdem gilt [mm] |f^{-1} a_j| \geq 1 [/mm] Warum?. Damit erhalten wir
[mm] |A| \summe_{i} |f^{-} a_i| \leq \summe_{i} 1 = |B| = |A| [/mm].
Das heißt aber [mm] |f^{-}a_i| = ?? [/mm] und damit ist f injektiv.
Das hat übrigens nichts mit Vektorräumen oder dergleichen zu tun. Wenn du eine surjektive Abbildung zwischen zwei gleichmächtigen endichen Mengen hast, ist diese automatisch injektiv und umgekehrt.
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