Isomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe eine allgemeine Frage bzgl Isomorphismen. Wir haben definiert [mm] T:V\to [/mm] W ist ein Isomorphismus, wenn T invertierbar ist. Soweit so gut, d.h. ja dann, dass die Abbildung T auch bijektiv ist (da man sonst keine eindeutige Umkehrabbildung angeben kann). Also kann man Isomorphismus doch auch als eine bijektive Abbildung definieren oder?
Damit T bijektiv sein kann müssen doch die Dimensionen der Vektorräume übereinstimmen oder?
Dann gibts ja noch den Automorphismus, diese Abbildung ist ja auch bijektiv und zusätzlich gilt noch V=W, also [mm] S:V\to [/mm] V.
Meine eigentliche Frage: Wie sieht ein Isomorphismus aus, der kein Automorphismus ist? Z.B. so: [mm] T:V\to [/mm] W mit [mm] V=\IR^n [/mm] und [mm] W=P_{n+1} [/mm] (Raum der Polynome vom Grad n+1) ?? Weil die Räume müssen einerseits ja verschieden sein, andererseits aber die gleiche Dimension haben, also isomorph zueinander sein. Sehe ich das richtig so?
Danke Grüße Patrick
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> Hallo,
> ich habe eine allgemeine Frage bzgl Isomorphismen.
hallo,
es geht sicher um isomorphismen zwischen Vektorräumen.
> Wir
> haben definiert [mm]T:V\to[/mm] W ist ein Isomorphismus, wenn T
linear und
> invertierbar ist. Soweit so gut, d.h. ja dann, dass die
> Abbildung T auch bijektiv ist (da man sonst keine
> eindeutige Umkehrabbildung angeben kann). Also kann man
> Isomorphismus doch auch als eine bijektive Abbildung
> definieren oder?
Ja. Ein Vektorraumisomorphismus ist eine bijektv lineare Abbildung.
>
> Damit T bijektiv sein kann müssen doch die Dimensionen der
> Vektorräume übereinstimmen oder?
Ja.
Weil ja eine Basis auf eine Basis abgebildet werden muß.
>
> Dann gibts ja noch den Automorphismus, diese Abbildung ist
> ja auch bijektiv und zusätzlich gilt noch V=W, also [mm]S:V\to[/mm]
> V.
>
> Meine eigentliche Frage: Wie sieht ein Isomorphismus aus,
> der kein Automorphismus ist? Z.B. so: [mm]T:V\to[/mm] W mit [mm]V=\IR^n[/mm]
> und [mm]W=P_{n+1}[/mm] (Raum der Polynome vom Grad n+1) ?? Weil die
> Räume müssen einerseits ja verschieden sein, andererseits
> aber die gleiche Dimension haben, also isomorph zueinander
> sein. Sehe ich das richtig so?
Ja.
Allerdings meinst Du sicher [mm] \IR^{n+1} [/mm] und [mm] P_{n}.
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> Danke Grüße Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:53 Di 02.09.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Danke Dir Angela, dann habe ich das ja größtenteils richtig verstanden.
> Allerdings meinst Du sicher [mm]\IR^{n+1}[/mm] und [mm]P_{n}.[/mm]
>
Hoppla, ja genau.
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