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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Mi 27.10.2010 | | Autor: | wieschoo |
| Aufgabe | | Zeigen Sie [mm]GL_3(\IR)/SL_3(\IR)\cong \IR^{\star}=\IR \setminus \{0\}[/mm]. |
Wir hatten noch nicht genau den Homomorphiesatz in der Vorlesung. Der Satz lautet ja "Ist $f [mm] \colon [/mm] A [mm] \to [/mm] B$ ein Homomorphismus und ker(f) der Kern von f, dann ist der Quotient A / ker(f) isomorph zum Bild f(A)."
Doch wie genau komme ich jetzt auf die Vorschrift. Den einzigen Begriff, denn ich mit den drei Gruppen verbinden kann ist die Determinante. Ich schätze daher, dass f irgendwie die Determinantenbildung ist. Kann mir jemand anhand der Aufgabe den Satz noch einmal erklären und wie ich genau ein f ermittle (raten?)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Mi 27.10.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Zeigen Sie [mm]GL_3(\IR)/SL_3(\IR)\cong \IR^{\star}=\IR \setminus \{0\}[/mm].
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> Wir hatten noch nicht genau den Homomorphiesatz in der
> Vorlesung. Der Satz lautet ja "Ist [mm]f \colon A \to B[/mm] ein
> Homomorphismus und ker(f) der Kern von f, dann ist der
> Quotient A / ker(f) isomorph zum Bild f(A)."
>
> Doch wie genau komme ich jetzt auf die Vorschrift. Den
> einzigen Begriff, denn ich mit den drei Gruppen verbinden
> kann ist die Determinante. Ich schätze daher, dass f
> irgendwie die Determinantenbildung ist. Kann mir jemand
> anhand der Aufgabe den Satz noch einmal erklären und wie
> ich genau ein f ermittle (raten?)
Völlig richtig geraten! Wenn du für f die Determinantenabb. nimmst und wenn du weißt, daß GL die Matrizen mit Determinante [mm] \not= [/mm] 0 sind und SL diejenigen mit Determinante = 1, dann steht doch fast alles da. Zeigen mußt du nur noch die Surjektivität, das solltest du hinkriegen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:10 Fr 05.11.2010 | | Autor: | wieschoo |
Zur Vollständigkeit noch Surjektivität.
Sei [mm] $a\in\IR$ [/mm] beliebig. Dann ist [mm]\vmat{ a & 0&0 \\
0 & 1&0\\
0&0&1 } =a[/mm]
Danke dir nochmal.
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