Isomorphien < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:34 Mo 09.02.2009 | | Autor: | mercator |
| Aufgabe | V [mm] \cong \IZ_{2} \times \IZ_{2}
[/mm]
[mm] \IZ_{6}/\IZ_{2} \cong \IZ_{3} [/mm] |
Hallo!
Ich habe allgeimein Probleme mit den Isomorphien. Ich glaube es würde mich weiterbringen, wenn mir jemand diese beiden Isomorphien erklären könnte.
(V meint die kleinsche Vierergruppe V={e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)})
Viele Grüße,
mercator
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:59 Mo 09.02.2009 | | Autor: | pelzig |
Wozu Isomorphismen? Stell dir mal die Gruppe [mm] $G_1=(\IZ_2,+)$. [/mm] Man rechnet [mm]0+0:=0, 0+1:=1+0:=1[/mm] und [mm]1+1:=0[/mm]. Jetzt könnte ich ja auf die Idee kommen eine neue Gruppe zu erfinden [mm] $G_2=(\{\xi,\nabla\},\oplus)$ [/mm] mit der Verknüpfung [mm] $\nabla\oplus\nabla:=\nabla$, $\nabla\oplus\xi:=\xi\oplus\nabla:=\xi$ [/mm] und [mm] $\xi\oplus\xi:=\nabla$. [/mm] Obwohl diese Beiden Gruppen ja erstmal ganz verschieden sind (sie enthalten ja ganz andere Elemente), sind als Gruppen gleich in dem Sinne, dass im Grunde nur eine Umbenennung vorgenommen wurde, man aber ansonsten genauso rechhnet. [mm] $0\in G_1$ [/mm] entspricht [mm] $\nabla\in G_2$ [/mm] und [mm] $1\in G_1$ [/mm] ist [mm] $\xi\in G_2$ [/mm] (mal dir z.B. die beiden Gruppentafeln hin, dann siehst du es). In der Mathematik sagt man dazu vornehm: [mm] G_1 [/mm] und [mm] G_2 [/mm] sind isomorph, durch die Bijektion (die "Umbenennungs-Funktion") [mm] $$\phi:G_1\to G_2\text [/mm] { mit } [mm] $\phi(0):=\nabla\text{ und }\phi(1):=\xi$$ [/mm] Dass man in [mm] G_1 [/mm] genauso rechnet wie in [mm] G_2 [/mm] bedeutet dann [mm] $\phi(x+y)=\phi(x)\oplus\phi(y)$ [/mm] für alle [mm] $x,y\in G_1$.
[/mm]
Isomorphismen tragen in der Mathematik also dem Umstand Rechnung, dass man gern unabhängig von der Benennung von Objekten sein will. Der eine mag seine Zahlen ja $1,2,3,...$ nennen, aber man hätte sie mit gleichem Recht auch [mm] $a,\xi,\operaatorname{pelzig},...$ [/mm] nennen können - für die Struktur, und das ist es, was die Mathematiker interessiert, macht das aber keinen Unterschied, denn was für die einen Zahlen gilt, gilt dann sofort auch für die anderen und umgekehrt.
Hast du das soweit verstanden?
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Mo 09.02.2009 | | Autor: | mercator |
Hallo!
danke für deine Erklärung. Was ein Isomorphismus ist und warum er nützlich ist, ist mir klar. Ich verstehe nur nicht warum die oben angegebenen Gruppen Isomorph sind. Bei der Kleinschen Vierergruppe leuchtet mir nur die Bijektivität ein, allerdings nicht das Strukturerhaltende.
Bei der Zweiten Isomorphie leuchtet mir nicht mal ein, dass es die gleiche Mächtigkeit hat. Kannst du mir das noch erklären?
Viele Grüße,
mercator
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Mo 09.02.2009 | | Autor: | statler |
Mahlzeit! Und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Bei der 1. Teilaufgabe ist der Nachweis der Isomorphie de facto recht einfach. Wenn du weißt, daß bei einem Isomorphismus das neutrale Element auf das neutrale Element abgebildet wird, bleiben noch insgesamt 6 Möglichkeiten, die anderen Elemente abzubilden. Glücklicherweise ergibt jede davon einen Isomorphismus. Dazu müßtest du dann noch nachweisen, daß die Abbildung strukturerhaltend ist. Aber selbst wenn du da ohne jedes Nachdenken rangehst, mußt du einfach nur 16 Gleichungen nachprüfen. Mach das doch einfach mal für eine konkrete Abbildung.
Die 2. Teilaufgabe ist insofern haarig, als [mm] \IZ_2 [/mm] keine Untergruppe von [mm] \IZ_6 [/mm] ist, das zu untersuchende Gebilde also gar nicht definiert ist. In diesem strengen Sinne steht da also Unfug. Es gibt aber in [mm] \IZ_6 [/mm] eine zu [mm] \IZ_2 [/mm] isomorphe U-Gruppe, die muß man nehmen. Vielleicht suchst du erstmal die.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
|
