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| Aufgabe | Wie viele sind die Isomorphieklassen abelschen Gruppen der Ordnung 8?
Geben Sie ein Beispiel für jede Klasse und die Familie der Untergruppen jedes Beispieles. |
Ich bereite mich zur Zeit für meine Algebraklausur vor und stolpere immer wieder auf Aufgaben die ich überhaupt nicht verstehe, vielleicht kann mir jemand mal genau erläutern wie ich vorgehen muss...
Wäre sehr nett!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:26 Di 13.06.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Hallo, wenn ich deine Frage richtig verstehe:
"Wieviele Isomprphieklassen abelscher Gruppen der Ord. 8 gbit es?"
Hattet ihr den Struktursatz für endliche abelsche Gruppen? Der besagt, dass jede endliche abelsche Gruppe isomorph zu einem Produkt von Gruppen der Art [mm] $\mathbb{Z}/p^{k}\mathbb{Z}$ [/mm] ist, wobei $p$ prim und [mm] $k\geq0$ [/mm] eine natürliche Zahl ist.
Um deine Aufgabe zu lösen, musst du jetzt nur noch überlegen, wieviele solcher Produkte der Ordnung 8 es gibt. Es sind:
[mm] $\mathbb{Z}/2^{3}\mathbb{Z}=\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$,
[/mm]
[mm] $\mathbb{Z}/2^{2}\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$
[/mm]
und [mm] $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.
[/mm]
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