Isomorphiebeweis < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Markuz |
| Aufgabe | Sei A= { [mm] \pmat{ a & 2b \\ b & a }|a, [/mm] b [mm] \in \IQ [/mm] } mit den üblichen Matritzenoperationen.
Man zeige: A ist Körper, der zu [mm] \IQ[\wurzel{2}] [/mm] isomorph ist.
Zu Grunde liegt folgende Definition:
Zwei Ringe R und S heißen isomorph, falls es einen Ringisomorphismus [mm] \phi:R \to [/mm] S gibt, also eine bijektive Abbildung mit [mm] \phi(r+r')=\phi(r)+\phi(r') [/mm] und [mm] \phi(rr')=\phi(r)\phi(r') [/mm] für alle r, r' [mm] \in [/mm] R sowie [mm] \phi(1_{R})=1_{S} [/mm]
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Ich stell die Frage einfach nochmal so, ohne den ganzen Wust, den ich unten verzapft habe,
Hat jemand eine kürzere Idee hierzu?, Zu zeigen, dass es sich um einen Körper handelt ist nicht schwer, die Isomorphie hakt allerdings etwas...
Kann ich auch die Def von Ringisomorphie überhaupt benutzen?
Vielen Dank im Voraus
Markuz
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:17 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Markuz!
> Ich stell die Frage einfach nochmal so, ohne den ganzen
> Wust, den ich unten verzapft habe,
So sollte das hier aber nicht laufen! Einmal gestellt, ist genug!
Deswegen setze ich deine andere Frage jetzt mal auf Mitteilung und hier ist der Link dorthin, damit man sich deine Idee auch noch durchlesen kann.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Dreh den Spieß um und suche eine entsprechende Abbildung von [mm]\IQ[\wurzel{2}][/mm] nach A.
Als Basis von [mm]\IQ[\wurzel{2}][/mm] kannst du {1| [mm] \wurzel{2} [/mm] } ansehen.
Die 1 musst du auf die Einheitsmatrix abbilden.
Für die Abbildung von [mm] \wurzel{2} [/mm] suchst du in der Matrix a und b so aus, dass [mm] f(\wurzel{2})*f(\wurzel{2})=f(2)=2*f(1)=2*Einheitsmatrix [/mm] ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Markuz |
Ah, vielen Dank,
da sieht man mal, wie umständlich man es sich machen kann...
EIne solche Abb könnte doch ganz einfach direkt so aussehen:
f: [mm] \IQ[\wurzel{2}] \to [/mm] A
[mm] f(a+b\wurzel{2})=\pmat{ a & 2b \\ b & a }, [/mm] oder?
Jetzt nur noch Bijektivität nachweisen, sowie die Forderungen der o.g. Def.
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