Isomorphie von Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Di 13.11.2007 | | Autor: | Ole-Wahn |
| Aufgabe | Zeige:
$(a)$ $Aut( [mm] \IZ [/mm] _n , +) [mm] \cong \IZ [/mm] _n [mm] ^{\*}$
[/mm]
$(b)$ [mm] $(\IZ [/mm] _mn , +) / [mm] (\IZ_n [/mm] , +) [mm] \cong (\IZ_m [/mm] , + )$ |
Hallo!
Bei diesen Aufgaben komme ich über den Ansatz nicht hinaus!
Im Prinzip muss ich ja nur lineare Bijektionen finden, um zu zeigen, dass die Gruppen isomorph sind.
Also bei (a) sind doch die Elemente von [mm] $Aut(\IZ_n [/mm] , +) $ genau die Abbildungen [mm] $\phi_k [/mm] $ , die einen Erzeuger $1$ von [mm] $\IZ_n$ [/mm] auf einen anderen $k$ abbilden, oder?
Dann müsste es doch genau so viele Automorphismen auf [mm] $\IZ_n$ [/mm] geben, wie es teilerfremde Zahlen $k<n$ gibt, also genau die Elemente von [mm] $\IZ_n ^{\*}$. [/mm] Reicht es dann schon, wenn ich die Abbildung
[mm] $\Psi [/mm] : [mm] Aut(\IZ_n,+) \rightarrow \IZ_n ^{\*}~~,~~\phi_k \mapsto [/mm] k$
betrachte? Die ist doch bijektiv und linear. Oder hab ich was übersehen?
Bei (b) macht mir die Faktorisierung zu schaffen, ich weiß einfach nicht so recht, wie ich mit Nebenklassen rechne.
Über Hilfestellung zu beiden Aufgaben würde ich mich freuen,
Danke,
Ole
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Di 13.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Reicht es dann schon, wenn ich
> die Abbildung
>
> [mm]\Psi : Aut(\IZ_n,+) \rightarrow \IZ_n ^{\*}~~,~~\phi_k \mapsto k[/mm]
>
> betrachte? Die ist doch bijektiv und linear. Oder hab ich
> was übersehen?
ja schon. aber genau das muss man dann noch zeige (es ist unter umständen leichter die abbildung in die andere richtung zu untersuchen).
> Bei (b) macht mir die Faktorisierung zu schaffen, ich weiß
> einfach nicht so recht, wie ich mit Nebenklassen rechne.
das musst du schon konkret schildern, was dir probleme macht. die rechenregeln und definitionen sollten ja aus der vorlesung bekannt sein. ich kann dir hier aber mal einen hinweis geben: wende den homomorphiesatz auf [mm] $\varphi: \mathbb{Z}_{mn} \longrightarrow \mathbb{Z}_m; \; [/mm] k + mn [mm] \mathbb{Z} \longmapsto [/mm] k + m [mm] \mathbb{Z}$.
[/mm]
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:05 Do 15.11.2007 | | Autor: | Ole-Wahn |
Vielen Dank, Andreas! Allerdings hake ich nochmal nach, hehe.
Um den Homomorphiesatz anwenden zu können, muss doch [mm] $\IZ_n$ [/mm] Normalteiler von [mm] $\IZ_{mn}$ [/mm] sein, sonst geht das nicht, oder?
Wie zeige ich das denn, wenn ich m und n gar nicht kenne ?
Danke nochmal,
Ole
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 Do 15.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
du erhälst im endeffekt nur einen zu [mm] $\mathbb{Z}_n$ [/mm] isomorphen normalteiler von [mm] $\mathbb{Z}_{mn}$ [/mm] als kern des von mir angegeben homomorphismus (mach dir klar, dass es genau einen solchen in [mm] $\mathbb{Z}_{nm}$ [/mm] gibt) - je nach definition ist [mm] $\mathbb{Z}_n$ [/mm] ja nicht mal eine teilmenge von [mm] $\mathbb{Z}_{nm}$.
[/mm]
grüße
andreas
|
|
|
|
