Isomorphie von Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Sa 19.04.2014 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | In welchen Fällen sin die Gruppen isomorph zueinander?(mit Begründung)
i) [mm] S_{7}/A_7 [/mm] und [mm] \IZ/2 \IZ
[/mm]
ii) die Quaterniongruppe [mm] Q_8 [/mm] und [mm] C_2 \times C_2 \times C_2
[/mm]
iii) [mm] \IC^{\*} /C_n [/mm] und [mm] \IC^{\*}
[/mm]
iv) [mm] S_3 [/mm] und [mm] D_3 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo,
meine idee bzw vorgehensweise der aufgabe:
i) ist isomorph zueinander, weil [mm] A_7 [/mm] ist Untergr. von [mm] S_7 [/mm] und 2 [mm] \IZ [/mm] ist untergr. von [mm] \Z, [/mm] daher gilt für Index [mm] [S_7:A_7]=2=[\IZ:\IZ]
[/mm]
ii) sind nicht isomorph zueinander da [mm] Q_8 [/mm] zyklisch ist und [mm] C_2 \times C_2 \times C_2 [/mm] ist nicht zyklisch da sei [mm] \alpha \in C_2 \times C_2 \times C_2
[/mm]
mit [mm] \alpha=(g^l, g^m,g^n) [/mm] mit l,m,n [mm] \in \IN, [/mm] dann gilt
[mm] \alpha^2 =((g^2)^l, (g^2)^m, (g^2)^n [/mm] ) und man erhält [mm] ord(\alpha)=2
[/mm]
wäre [mm] \alpha \in C_2 \times C_2 \times C_2 [/mm]
[mm] \alpha \in C_2 \times C_2 \times C_2=<\alpha> [/mm] dann müsste gelten
[mm] ord(\alpha)=|C_2 \times C_2 \times C_2|=2*2*2*=8, [/mm] was im widerspruch zu [mm] ord(\alpha)=2
[/mm]
iii) habe ich leider keine Idee, nur das [mm] C_n [/mm] eine Untergr. von [mm] \IC^{\*} [/mm] ist, aber hilft diese Information weiter?
iv) sind isomorph, da sie selber struktur haben?
falls ich bei manchen dinge die ich geschriben habe falsch liege, korrigiert mich bitte.
Ich bin für jede unterstützung und jeden noch so kleinen tipp dankbar.
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> In welchen Fällen sin die Gruppen isomorph zueinander?(mit
> Begründung)
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> i) [mm]S_{7}/A_7[/mm] und [mm]\IZ/2 \IZ[/mm]
> ii) die Quaterniongruppe [mm]Q_8[/mm]
> und [mm]C_2 \times C_2 \times C_2[/mm]
> iii) [mm]\IC^{\*} /C_n[/mm] und
> [mm]\IC^{\*}[/mm]
> iv) [mm]S_3[/mm] und [mm]D_3[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> hallo,
>
> meine idee bzw vorgehensweise der aufgabe:
>
> i) ist isomorph zueinander, weil [mm]A_7[/mm] ist Untergr. von [mm]S_7[/mm]
> und 2 [mm]\IZ[/mm] ist untergr. von [mm]\Z,[/mm] daher gilt für Index
> [mm][S_7:A_7]=2=[\IZ:\IZ][/mm]
"Ja" ist zwar richtig, aber deine Begründung ist etwas wirr. Nicht weil [mm] $2\IZ [/mm] $ eine Untergruppe ist, ist ihr Index in [mm] $\IZ [/mm] $ gleich zwei, sondern es ist eine ganz spezielle Eigenschaft dieser Untergruppe. Ähnlich für die $ [mm] A_7$. [/mm] Richtig ist aber, dass beide zu betrachtenden Gruppen die Ordnung zwei haben, und wenn du verwenden darfst, dass zwei solche isomorph sein müssen, dann genügt das.
> ii) sind nicht isomorph zueinander da [mm]Q_8[/mm] zyklisch ist und
> [mm]C_2 \times C_2 \times C_2[/mm] ist nicht zyklisch da sei [mm]\alpha \in C_2 \times C_2 \times C_2[/mm]
>
> mit [mm]\alpha=(g^l, g^m,g^n)[/mm] mit l,m,n [mm]\in \IN,[/mm] dann gilt
> [mm]\alpha^2 =((g^2)^l, (g^2)^m, (g^2)^n[/mm] ) und man erhält
> [mm]ord(\alpha)=2[/mm]
> wäre [mm]\alpha \in C_2 \times C_2 \times C_2[/mm]
> [mm]\alpha \in C_2 \times C_2 \times C_2=<\alpha>[/mm] dann müsste
> gelten
> [mm]ord(\alpha)=|C_2 \times C_2 \times C_2|=2*2*2*=8,[/mm] was im
> widerspruch zu [mm]ord(\alpha)=2[/mm]
$ [mm] Q_8$ [/mm] ist nicht zyklisch! Sieh dir nochmal die Definition dieser Gruppe an. Das Argument wird dann aber so funktionieren, dass du eine Eigenschaft von $ [mm] C_2\times C_2\times C_2$ [/mm] nennst, welche die $ [mm] Q_8$ [/mm] offenbar nicht besitzt.
> iii) habe ich leider keine Idee, nur das [mm]C_n[/mm] eine Untergr.
> von [mm]\IC^{\*}[/mm] ist, aber hilft diese Information weiter?
Hier müsstest du ersr klären, was $ [mm] C_n [/mm] $ ist. Die $ n $-ten Einheitswurzeln? In dem Fall zeige für $ [mm] n\not=1$, [/mm] dass es in $ [mm] C^\*$ [/mm] Elemente der Ordnung $ n $ gibt, nicht aber in $ [mm] C^\*/C_n [/mm] $.
> iv) sind isomorph, da sie selber struktur haben?
Das ist ja keine Begründung! Wie habt ihr die $ [mm] D_3$ [/mm] definiert? Als semidirektes Produkt? Dann zeige, dass auch $ [mm] S_3$ [/mm] eine solche Darstellung hat.
> falls ich bei manchen dinge die ich geschriben habe falsch
> liege, korrigiert mich bitte.
> Ich bin für jede unterstützung und jeden noch so kleinen
> tipp dankbar.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Mo 21.04.2014 | | Autor: | knowhow |
kann ich zu ii) auch sagen da die gruppe [mm] Q_8 [/mm] die ordnung 8 hat und [mm] C_2 \times C_2 \times C_2 [/mm] die ordnung 2 hat, sind sie nicht isomorph?
und zu iv) kann ich es anhand der verknüfungstafel zeigen das [mm] S_3 [/mm] und [mm] D_3 [/mm] isomorph sind?
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ii) Nein, denn beide Gruppen haben Ordnung 8.
iv) Ja, das geht, auch wenn es aufwendig ist.
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