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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Sa 11.02.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | 1. Es sei W ein endlich dim. Vektorraum über K und U,V Unterräume von W. zeige dass die Räume (U+V)/(U [mm] \cap [/mm] V) und U/(U [mm] \cap [/mm] V) [mm] \oplus [/mm] V/(U [mm] \cap [/mm] V) isomorph sind.
2. Für n größer gleich 2 sei A [mm] \in [/mm] O(n). zeigen Sie , dass Bild(A-1) senkrecht auf Kern(A-1) steht. dabei sei 1 die Einheitsmatrix. |
zu 1: Hier hab ich eigentlich nur eine Frage:
Ich habe raus dass die beiden Räume die gleiche Dimension haben. Darf ich dann daraus folgern, dass sie isomorph sind?
zu 2: Hier finde ich nciht wirklich einen Ansatz. Es läuft denke ich wohl darauf hinaus dass man zeigen soll dass <Bild(A-1),Kern(A-1)>=0 ist. Oder? Für die Matrizen der orthogonalen Gruppe gilt ja, dass
[mm] A^T [/mm] * A =1 , also [mm] A^{-1}=A^T. [/mm] Kann ich das i-wie hier benutzen?
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moin,
Zu 2):
Orthogonale Matrizen sind Winkeltreu:
![[]](/images/popup.gif) 4. Punkt
Wenn nun $A$ orthogonal ist, so auch [mm] $A^T$.
[/mm]
Nun zeig mit dem Wissen, dass
$<(A-1)x,y> = 0$ für alle $x$ (denn das ist ja grad das Bild), wenn $y$ im Kern von $(A-1)$ liegt - also $(A-1)y = 0$.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 So 12.02.2012 | | Autor: | rollroll |
Steh i-wie gerade aufm Schlauch...
Kann ich <(A-1)x,y> auch schreiben als: (A-1)<x,y>=<x,(A-1)y> und
(A-1)y=0; also: <x,0>=0 ??
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Ne, ganz so einfach ist das nicht.
Du kannst folgendes machen:
$<(A-1)x,y> = <Ax - x,y> = <Ax,y> - <x,y> = <x,A^Ty>-<x,y> = [mm] [/mm] = [mm] $
[/mm]
Ab hier darfst du weiter machen. ;)
lg
Schadow
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